Como calcular controle estatístico de processo: limites e capabilidade

Duas peças diferentes não significam processo mudado, e é dessa confusão que nasce a maior parte do ajuste desnecessário na produção. O operador corrige o que não precisava ser corrigido, e a variação aumenta.

O controle estatístico de processo dá um critério numérico a essa decisão. Ele calcula, a partir do próprio processo, a faixa em que a variação é apenas a de sempre, e trata como sinal só o que sai dela.

A conta tem poucos ingredientes: subgrupos formados com critério, uma linha central, três constantes de tabela e uma estimativa de dispersão. O que dá errado não é a aritmética, é a premissa que entra calada antes dela.

Você vai ver como formar o subgrupo, como calcular os limites com A2, D3 e D4, por que essas constantes existem, como ler os sinais de causa especial, e como sair da carta para Cp, Cpk, Pp e Ppk sem inverter a ordem.

Os números dos dois exemplos foram montados para este artigo. São ilustrativos: existem para mostrar a mecânica do cálculo passo a passo, não para descrever uma empresa real.

O que o CEP calcula, afinal

Controle estatístico de processo é um método para separar duas coisas que parecem a mesma: a variação que o processo sempre teve e a variação que apareceu agora.

O produto do método é um par de limites e uma linha central, calculados do próprio processo. Cada novo ponto é comparado com eles. Dentro, nada mudou de forma detectável. Fora, alguma coisa mudou.

A pergunta não é se o resultado agradou. É se ele é compatível com a variação que o processo já vinha apresentando. Valor ruim dentro dos limites não pede investigação. Valor bom fora dos limites pede.

O artigo trata da matemática e da leitura, sem depender de ferramenta. A visão geral está em controle estatístico de processo. Aqui o assunto é a conta.

Saber como calcular CEP é escolher o subgrupo, estimar a dispersão, montar os limites, ler os sinais e só então avaliar capabilidade. Fora dessa ordem, cada etapa contamina a seguinte.

Variação comum e variação especial

Todo processo varia. Duas peças consecutivas da mesma máquina, com o mesmo operador e o mesmo lote, saem diferentes. Essa variação de fundo, sem culpado identificável, é a variação comum.

Ela é a soma de muitas causas pequenas: folga de fixação, oscilação de temperatura, diferença de leitura, atrito. Nenhuma explica o resultado sozinha. Juntas, produzem uma dispersão estável no tempo.

A variação especial difere em natureza, não em tamanho. Tem origem localizável: ferramenta quebrada, lote fora de padrão, ajuste no meio do turno, operador sem treino. Ela não pertence ao processo, ela aconteceu com o processo.

A distinção importa porque as duas exigem ações opostas. Causa especial se investiga e se elimina caso a caso. Causa comum não tem caso a investigar: reduzi-la exige mudar o projeto do processo.

Tratar causa comum como especial é o erro mais caro do chão de fábrica. Ajustar a máquina por uma peça que variou dentro do esperado aumenta a dispersão em vez de reduzir.

Por que o limite de controle não vem da especificação

Limite de controle e limite de especificação têm origens diferentes, e é comum vê-los no mesmo gráfico como se fossem parentes. Não são.

A especificação vem de fora. Alguém escreveu: o projeto do produto, a norma, o contrato. Ela diz o que é aceitável receber e não tem relação com o que a máquina consegue entregar.

O limite de controle vem de dentro. É calculado com os dados que o processo produziu e descreve a faixa em que ele varia quando nada de anormal acontece. É medida de comportamento, não desejo.

Confundir os dois produz estragos simétricos. Em processo folgado, usar a especificação como limite esconde causa especial, porque tudo cabe na tolerância. Em processo apertado, gera alarme falso constante.

A regra é curta: especificação julga a peça, limite de controle julga o processo. Uma peça pode estar dentro da especificação com o processo fora de controle, e o contrário também.

Subgrupo racional: a decisão que define tudo

O subgrupo é o conjunto de medidas que você agrupa para gerar um ponto da carta. A escolha dele determina o tamanho dos limites e, portanto, o que a carta consegue detectar.

O princípio é o de Shewhart: dentro do subgrupo deve atuar só a variação comum, e entre subgrupos deve aparecer a especial. Por isso ele se chama racional, e não aleatório.

Na prática, junte peças produzidas em condições parecidas: mesma máquina, mesmo operador, mesmo lote, num intervalo curto. Cinco peças consecutivas formam um bom subgrupo. Cinco sorteadas ao longo do turno não formam.

O motivo é aritmético. Os limites saem da dispersão de dentro do subgrupo. Jogando a variação entre turnos para dentro dele, a dispersão interna cresce, os limites se alargam, e a carta deixa de acusar a diferença que interessava.

O erro inverso existe. Subgrupos com peças de máquinas diferentes misturam duas populações e produzem uma carta que não representa nenhuma delas. Aí o certo é uma carta por máquina.

Tamanho, frequência e quantidade de subgrupos

Três parâmetros são decididos antes da primeira medida: quantas peças por subgrupo, de quanto em quanto tempo, e quantos subgrupos até fechar os limites.

O tamanho usual é 4 ou 5. Com n igual a 5, a média do subgrupo já se comporta de forma próxima da normal mesmo quando a distribuição original não é, e a amplitude ainda estima bem a dispersão. É o padrão.

Acima de 10, a amplitude perde eficiência, porque depende só dos extremos, e o correto é migrar para a carta de desvio-padrão. Quando a medida é cara ou destrutiva, o subgrupo vira unitário.

• n de 4 a 5: padrão para carta de média e amplitude
• n de 6 a 10: possível, com perda gradual de eficiência da amplitude
• n acima de 10: usar carta de desvio-padrão
• n igual a 1: carta de individuais com amplitude móvel

A frequência precisa cobrir o ciclo que você quer detectar. Se o desgaste se manifesta em duas horas, amostrar de quatro em quatro não detecta nada. Para fechar os limites, 25 subgrupos é a referência e 20 é o piso.

Cálculo da linha central

Coletados os subgrupos, a primeira conta é a linha central de cada carta. São duas porque o método acompanha média e dispersão separadamente.

A linha central da carta de médias é a média das médias, o X duas barras. Some as médias dos k subgrupos e divida por k. Ela estima onde o processo está centrado.

A linha central da carta de amplitudes é R barra. Calcule a amplitude de cada subgrupo, que é o maior valor menos o menor, some as k amplitudes e divida por k. Ela estima a dispersão de dentro do subgrupo.

A ordem de leitura é fixa e quase sempre invertida na prática. Analise primeiro a amplitude. Se a dispersão não está estável, R barra não vale, e os limites da carta de médias saíram de um número sem sentido.

Só com a carta de amplitude estável é que a carta de médias significa alguma coisa. Essa dependência é a razão de as duas sempre aparecerem juntas.

As constantes A2, D3 e D4 e por que elas existem

Os limites ficam a três desvios-padrão da linha central. Só que você não conhece o desvio-padrão do processo, conhece a amplitude média. As constantes fazem a tradução.

A constante d2 é o elo. Numa distribuição normal, a amplitude esperada de uma amostra de tamanho n vale d2 vezes o desvio-padrão. Logo o desvio se estima dividindo R barra por d2. O d2 cresce com n, porque amostra maior tende a dar amplitude maior.

A constante A2 comprime três passos numa multiplicação. Ela vale 3 dividido por d2 e pela raiz de n, e já embute que a média de n valores dispersa menos que um valor isolado.

D3 e D4 fazem o mesmo para a carta de amplitude, cuja distribuição é assimétrica e por isso não tem limites simétricos. Até n igual a 6, D3 é zero: três desvios abaixo de R barra cairiam no negativo.

A carta de médias fica em X duas barras mais e menos A2 vezes R barra. A de amplitudes fica em D4 vezes R barra no topo e D3 vezes R barra embaixo.

Exemplo numérico: limites de controle a partir de subgrupos

Envase de sachê, peso em gramas, especificação de 98,0 a 102,0. Dez subgrupos de 5 unidades consecutivas, um a cada trinta minutos. Aqui são 10 para caber na página; em uso real, colete 25.

A soma das 10 médias é 1.002,00, então X duas barras vale 100,20 g. A soma das 10 amplitudes é 10,0, então R barra vale 1,00 g. Com n igual a 5, A2 vale 0,577, D3 vale 0 e D4 vale 2,114.

Comece pela amplitude. O limite superior é 2,114 vezes 1,00, igual a 2,11 g, e o inferior é zero. A maior amplitude observada foi 1,7 g: a dispersão está estável, e R barra pode sustentar o resto.

Agora as médias. A meia largura é 0,577 vezes 1,00, igual a 0,577 g. O limite superior é 100,20 mais 0,577, igual a 100,78 g. O inferior é 100,20 menos 0,577, igual a 99,62 g.

Confira os 10 pontos. A menor média é 99,72 e a maior é 100,50, ambas dentro da faixa. Nenhum ponto fora e nenhuma sequência suspeita: o processo está sob controle estatístico.

Estimar o desvio-padrão pela amplitude média

A carta produz um subproduto que vale tanto quanto os limites: a estimativa do desvio-padrão do processo. Ela sai de R barra dividido por d2, e se chama sigma de dentro do subgrupo.

No exemplo, R barra vale 1,00 g e o d2 de n igual a 5 vale 2,326. O desvio estimado é 1,00 dividido por 2,326, igual a 0,4299 g. A largura natural do processo, seis desvios, é 2,58 g.

Essa estimativa mede só a variação de curto prazo, a de dentro do subgrupo. Deslocamentos de média entre turnos, lotes ou horas do dia não entram nela, porque acontecem entre subgrupos.

Calcular o desvio-padrão pela fórmula usual sobre os 50 valores juntos dá outro número, quase sempre maior, porque ele absorve os deslocamentos. No exemplo, esse desvio global vale 0,4699 g.

Guarde os dois. A diferença entre 0,4299 e 0,4699 é a variação entre subgrupos, e é exatamente ela que separa Cp de Pp mais adiante.

Cartas por variável: média e amplitude, média e desvio, individuais

Carta por variável trabalha com dado contínuo: peso, diâmetro, temperatura, tempo. É mais sensível que a de atributo e exige muito menos dados para detectar a mesma mudança.

A carta de média e amplitude é a padrão para subgrupos de 4 ou 5. Usa A2 para a média e D3 e D4 para a amplitude, e cobre a maioria dos casos de produção seriada.

A carta de média e desvio-padrão troca a amplitude pelo desvio do subgrupo e usa as constantes A3, B3 e B4. Vale a pena a partir de n igual a 10, quando a amplitude começa a desperdiçar a informação dos valores do meio.

A carta de individuais serve para subgrupo de uma unidade: ensaio destrutivo, processo em batelada, indicador diário. A dispersão vem da amplitude móvel, o módulo da diferença entre medidas consecutivas, dividida por 1,128.

Ela é menos sensível e mais dependente de normalidade, porque não conta com a suavização da média. Use por necessidade, não por comodidade. O detalhamento está em carta de controle.

Cartas por atributo: p, np, c e u

Carta por atributo trabalha com contagem: peças reprovadas, defeitos, devoluções. A lógica dos três desvios é a mesma. O que muda é a distribuição de referência e a fórmula do desvio do ponto.

As cartas p e np contam unidades defeituosas e se apoiam na binomial. Na carta p, que acompanha a proporção, o desvio vale a raiz de p barra vezes 1 menos p barra, dividido pelo tamanho da amostra.

Exemplo: p barra igual a 0,04 e amostras de 200 peças. O desvio é a raiz de 0,04 vezes 0,96 dividido por 200, ou seja raiz de 0,000192, igual a 0,01386. O limite superior é 0,04 mais 0,04157, igual a 0,0816, ou 8,2%. O inferior daria negativo e vira zero.

As cartas c e u contam defeitos e se apoiam em Poisson, na qual a variância é igual à média. Com c barra igual a 9 defeitos por painel, o desvio é a raiz de 9, igual a 3, e os limites ficam em 18 e zero.

As regras de detecção de causa especial

Ponto fora dos limites é o sinal mais óbvio e o menos frequente. Um processo muda de patamar sem que nenhum ponto isolado passe de três desvios, e por isso existem regras que leem padrões.

Elas dividem a carta em seis zonas de um desvio, três acima e três abaixo da linha central. A zona A é a mais externa, entre dois e três desvios. A B fica entre um e dois. A C encosta na linha central.

1. Um ponto além de três desvios, em qualquer lado
2. Nove pontos seguidos do mesmo lado da linha central
3. Seis pontos seguidos subindo ou seis descendo
4. Catorze pontos alternando para cima e para baixo
5. Dois de três pontos consecutivos na zona A do mesmo lado
6. Quatro de cinco pontos consecutivos na zona B ou além, do mesmo lado
7. Quinze pontos seguidos na zona C, dos dois lados
8. Oito pontos seguidos fora da zona C, dos dois lados

Cada regra tem um significado físico típico. Sequência do mesmo lado indica deslocamento de média. Tendência indica desgaste. Alternância indica mistura de duas fontes. Quinze pontos colados na linha central quase sempre indica limite calculado errado.

Três desvios é escolha de equilíbrio: por acaso, um ponto sai fora a cada 370. Com dois desvios, a detecção seria mais rápida e o alarme falso viria a cada 22 pontos. Use um conjunto enxuto de regras, tipicamente 1, 2, 3 e 5, em vez de oito que ninguém confere.

O que fazer quando o processo está fora de controle

Sinal na carta não é conclusão, é convite à investigação. A resposta tem uma ordem, e pular etapas é o que transforma CEP em burocracia de preenchimento.

Comece pela medição. Boa parte dos pontos fora vem de erro de leitura, instrumento descalibrado ou digitação. Confirmar o dado leva minutos e evita investigar um fantasma.

Confirmado o dado, procure o que mudou naquele momento: troca de lote, troca de turno, manutenção, ajuste, parada, fornecedor novo. A pergunta é sempre a mesma. Para causas não óbvias, a investigação estruturada segue o método DMAIC.

Registre causa e ação no histórico da carta. Carta sem anotação perde metade do valor, porque daqui a seis meses ninguém lembra por que o ponto 37 subiu.

Só recalcule os limites depois de eliminar a causa, e exclua apenas pontos com causa identificada e tratada. Excluir ponto sem causa conhecida é maquiagem: apaga o sinal e mantém o problema.

Capabilidade só faz sentido em processo estável

Índice de capabilidade compara a largura natural do processo com a da especificação. A conta é simples. O que ela pressupõe é que existe uma largura natural, ou seja, que o processo de hoje é o de amanhã.

Processo fora de controle não tem uma distribuição, tem várias alternando no tempo. Calcular um índice sobre isso é tirar média de duas curvas e apresentar o resultado como se descrevesse as duas.

Por isso a ordem é fixa: estabilidade primeiro, capabilidade depois. Um Cpk de 1,60 sobre processo instável vale menos que um Cpk de 1,10 sobre processo estável, porque o segundo descreve algo que se repete.

Antes de calcular, olhe a forma da distribuição num histograma. Duas corcovas indicam mistura de populações. Curva truncada de um lado indica inspeção removendo peças. Nos dois casos, a fórmula normal não se aplica.

O tratamento completo, com dado discreto e curva não normal, está em capabilidade do processo. Aqui interessa o cálculo e a diferença entre as quatro siglas.

Exemplo numérico: Cp, Cpk, Pp e Ppk do mesmo processo

Retome o envase. Especificação de 98,0 a 102,0 g, tolerância de 4,00 g. X duas barras igual a 100,20 g. Sigma de dentro igual a 0,4299 g, de R barra 1,00 sobre d2 2,326. Desvio global dos 50 valores igual a 0,4699 g.

Cp é a tolerância dividida por seis sigmas de dentro. Seis vezes 0,4299 dá 2,5795. Cp vale 4,00 dividido por 2,5795, igual a 1,55. A centralização não entrou: Cp mede se a variação cabe, não se está no lugar certo.

Cpk é o menor dos dois lados. Lado superior: 102,00 menos 100,20 dá 1,80, dividido por três sigmas, 1,2898, resulta em 1,40. Lado inferior: 100,20 menos 98,00 dá 2,20, dividido por 1,2898, resulta em 1,71. O menor é 1,40.

Pp e Ppk repetem as mesmas contas trocando o sigma de dentro pelo global de 0,4699. Pp vale 4,00 dividido por 2,8195, igual a 1,42. Ppk vale 1,80 dividido por 1,4097, igual a 1,28.

A distância de Cp 1,55 para Cpk 1,40 é descentralização: o processo está 0,20 g acima do meio da faixa. A de Cpk 1,40 para Ppk 1,28 é instabilidade entre subgrupos. Aqui, centralizar rende mais que reduzir dispersão.

Cp, Cpk, Pp e Ppk: o que cada sigla responde

As quatro siglas se organizam em duas perguntas cruzadas. A conta usa a variação de curto ou de longo prazo? A conta considera a centralização ou ignora?

Cp e Pp dizem quanto o processo entregaria se estivesse centrado. São tetos. Cpk e Ppk dizem quanto ele entrega de fato, porque medem a distância até o limite mais próximo. Cpk nunca supera Cp, e Ppk nunca supera Pp.

Cp e Cpk usam o sigma de R barra sobre d2, que captura só o que varia dentro do subgrupo. Pp e Ppk usam o desvio calculado sobre todos os dados, que captura também os deslocamentos entre subgrupos.

A leitura conjunta é o que informa. Cp muito maior que Cpk indica descentralização, e ajuste de centro costuma ser barato. Cp próximo de Pp indica estabilidade no período. Cp bem maior que Pp indica algo deslocando a média no tempo.

Uma convenção comum, não universal, reserva Cp e Cpk para processo já estabilizado e Pp e Ppk para estudos iniciais. Se a sua norma ou o seu cliente define diferente, a definição deles prevalece.

A relação entre Cpk e ppm

O índice é adimensional e por isso pouco intuitivo. Convertê-lo em partes por milhão fora da especificação torna a conversa concreta, porque ppm é quantidade de peça.

A conversão vem direto da normal. Cpk igual a 1,40 põe o limite mais próximo a 4,20 desvios da média. A área da cauda além de 4,20 desvios é a fração esperada fora daquele lado.

O Cpk de 1,40 do exemplo dá cerca de 14 ppm, ou 14 sachês fora do peso por milhão envasados. O Ppk de 1,28 dá cerca de 64 ppm, quase cinco vezes mais. A diferença entre os índices, que parecia pequena, custa caro em unidade contada.

A tabela explica o famoso 3,4 ppm do Seis Sigma. Ele é a cauda de 4,5 desvios, que corresponde a um Cp de 2,00 penalizado por um deslocamento de 1,5 desvio no longo prazo. O que sobra é Cpk igual a 1,50.

Dois cuidados. A conversão vale só para curva normal e superestima grosseiramente a qualidade em caudas pesadas. E ela descreve o que o processo produz, não o que o cliente recebe, porque a inspeção filtra parte das peças ruins.

Os erros de cálculo mais comuns

A maioria dos CEPs errados não erra fórmula. Erra premissa, e a fórmula obedece sem reclamar. A lista abaixo cobre quase todos os casos de auditoria.

• Usar o limite de especificação como limite de controle
• Calcular sigma pela fórmula global e chamar o resultado de Cp, quando sigma global produz Pp
• Formar subgrupo sorteando peças ao longo do turno, o que infla a dispersão interna
• Misturar máquinas ou cavidades no mesmo subgrupo, criando uma carta de duas populações
• Recalcular os limites a cada novo ponto, fazendo-os perseguir o processo
• Excluir pontos fora sem identificar a causa especial correspondente
• Calcular capabilidade antes de demonstrar estabilidade

Dois erros são silenciosos. O primeiro é o arredondamento na coleta. Se o instrumento mede em 0,1 g e a variação real é de 0,4 g, cada subgrupo tem poucos valores distintos, a amplitude fica granulada e os limites saem tortos. Peça resolução de pelo menos um décimo da tolerância.

O segundo é o congelamento dos limites. Calculados uma vez e nunca revistos, eles deixam de descrever o processo assim que ele muda, por melhoria ou por deterioração. Recalcule quando houver mudança conhecida e deliberada.

A sequência fecha assim: subgrupo racional, linha central, limites com as constantes, leitura pelas regras, tratamento das causas especiais e só então capabilidade. Saber como calcular CEP é menos aritmética e mais respeitar essa ordem.