Planilha de capabilidade: Cp, Cpk e como ler

Uma planilha de capabilidade devolve quatro números em segundos e é por isso que ela erra tanto. O cálculo é trivial: quatro divisões. O difícil é tudo que precisa estar verdadeiro antes da primeira divisão, e nada disso a planilha checa sozinha.

Capabilidade compara a dispersão real do processo com a faixa que a especificação permite. Se o processo não estiver estável, essa comparação não tem objeto: não existe uma dispersão única a comparar, existe uma mistura de várias, e o índice resultante muda de valor a cada nova coleta sem que nada tenha mudado no chão de fábrica.

Você vai ver o que verificar antes de calcular, a diferença entre sigma dentro e sigma global e o que a distância entre Cp e Cpk revela sobre centralização. Depois, quando usar Pp e Ppk, a estrutura da planilha aba por aba, o teste de normalidade, a conversão de índice em ppm e de onde saem os patamares de 1,33 e 1,67.

O fio condutor é um caso de aperto de parafuso com 40 medidas, especificação de 18,0 a 22,0 Nm, carta de controle aprovada, Cp de 1,312 e Cpk de 0,954. Todos os índices estão calculados no texto, com os valores intermediários à vista, para conferência.

Os números deste artigo foram montados para ele, no formato do Kit Lean Seis Sigma da Voitto. São ilustrativos e internamente consistentes: os 40 valores, as cartas, os dois sigmas, os quatro índices e as conversões em ppm fecham entre si, e não descrevem uma linha real.

O que a capabilidade compara, e o que ela não compara

Capabilidade é uma razão entre duas coisas de naturezas diferentes. No numerador está a faixa de especificação, uma decisão de engenharia ou de contrato: alguém escreveu que o torque fica entre 18,0 e 22,0 Nm. No denominador está a dispersão real do processo, um fato medido. O índice pergunta quantas vezes a variação natural cabe na janela permitida.

Por isso capabilidade não é conformidade. Um lote pode sair 100% dentro da especificação e ter índice ruim, porque o índice projeta o processo, não audita as peças que já saíram. O contrário também acontece, quando a amostra do cálculo não representa a produção.

A faixa de especificação nunca é calculada a partir do processo. Se alguém abre o limite porque o processo não alcança, o índice sobe sem que nada tenha mudado na máquina. Esse é o jeito mais rápido de transformar uma análise de capabilidade em teatro.

O pré-requisito que quase todo mundo ignora

A planilha de capabilidade só produz número com sentido se o processo estiver estável. Estável quer dizer que a variação vem apenas de causas comuns, sem deslocamentos de média, tendências ou picos de dispersão dentro da janela medida.

A razão é matemática, não doutrinária. Cp e Cpk projetam uma taxa de defeito futura a partir de uma distribuição única, com uma média e um desvio-padrão. Se o processo teve três médias no período, não existe uma distribuição: existem três, e a mistura tem uma forma que nenhuma fórmula do índice reconhece.

O sintoma clássico é o índice que muda de valor toda semana sem nenhuma alteração no processo. Não é o processo que oscila: é o cálculo aplicado sobre uma base que não atende à premissa.

A ordem correta é medir, estabilizar e só então calcular. Invertida, ela gera um número que parece rigoroso, carrega três casas decimais e não sustenta decisão nenhuma. É o erro mais caro do controle estatístico de processo aplicado por planilha.

Como verificar a estabilidade antes de calcular

A verificação é uma carta de controle nos mesmos dados que vão alimentar o índice. Para dado contínuo em subgrupos, a carta é a X-barra e R. Para medida individual, a carta é a I-MR. Nada além disso é necessário como porta de entrada.

Os limites da carta não são a especificação. Eles saem da própria variação do processo, pela amplitude média dos subgrupos. Colocar limite de especificação em carta de controle é um erro que invalida a leitura.

Os testes mínimos antes de liberar o cálculo:

• nenhum ponto fora dos limites de controle, nas duas cartas;
• nenhuma sequência de sete ou mais pontos do mesmo lado da linha central;
• nenhuma tendência de sete ou mais pontos subindo ou descendo;
• a carta R estável antes da carta X-barra, porque limite de média calculado sobre dispersão instável já nasce errado.

Se algum teste reprova, o caminho não é calcular assim mesmo com ressalva no rodapé, e sim identificar a causa especial, tratar e recoletar. A folha de verificação da coleta precisa registrar turno, operador, lote e ferramenta, porque é nesses campos que a causa especial costuma estar.

O caso do artigo: 40 medidas de torque e a carta que libera o cálculo

O exemplo é o aperto de um parafuso em linha de montagem, com especificação de 18,0 a 22,0 Nm, alvo em 20,0 Nm e tolerância total de 4,0 Nm.

A coleta foi de 10 subgrupos de 4 peças consecutivas, um subgrupo por hora, em um turno. Peça consecutiva é escolha deliberada: o subgrupo captura a variação de curto prazo e deixa a variação entre horas aparecer na diferença entre subgrupos.

A média geral é 20,5455 Nm e a amplitude média é 1,0460 Nm. Nenhuma das 40 peças ficou fora da especificação: o mínimo foi 19,27 e o máximo 21,48. Guarde esse detalhe, porque ele vai contradizer o índice mais adiante.

Antes de qualquer índice, a carta X-barra e R. Com subgrupo de 4, as constantes são A2 igual a 0,729, D4 igual a 2,282 e D3 igual a zero.

As dez médias variam de 20,093 a 21,105 e as dez amplitudes de 0,52 a 1,84, todas dentro dos limites. Não há sequência de sete pontos do mesmo lado nem tendência de sete pontos.

O processo está estável. Isso autoriza o cálculo e já entrega uma informação desconfortável: a linha central em 20,546 está 0,546 Nm acima do alvo, e essa diferença é sistemática. O processo é previsível naquilo que faz de errado.

Sigma dentro e sigma global: duas contas para a mesma nuvem

A planilha de capabilidade calcula dois desvios-padrão diferentes sobre os mesmos 40 números, e é aqui que a maioria das discussões se perde.

O sigma dentro, ou de curto prazo, mede só a variação interna dos subgrupos: R-barra dividido por d2, com d2 igual a 2,059 para subgrupo de 4. No caso, 1,0460 dividido por 2,059 dá 0,5080 Nm.

O sigma global, ou de longo prazo, é o desvio-padrão amostral dos 40 valores como conjunto único, ignorando os subgrupos. No caso, 0,5661 Nm.

A diferença entre os dois não é arredondamento. O sigma global inclui o quanto a média se desloca de hora em hora; o sigma dentro exclui essa parcela por construção.

A razão entre eles é o diagnóstico: 0,5661 dividido por 0,5080 dá 1,114. O processo tem 11% mais dispersão no período inteiro do que dentro de uma hora. Se essa razão passar de 1,3, há variação entre subgrupos grande o bastante para merecer investigação própria, geralmente ligada a setup, turno ou lote de material.

Cp: o que a tolerância comporta

Cp é a tolerância dividida por seis vezes o sigma dentro. No caso: 4,0 dividido por 6 vezes 0,5080, o que dá 1,312.

O índice responde a uma pergunta única e restrita: se o processo estivesse perfeitamente centrado no meio da faixa, quantas vezes a largura natural caberia na tolerância? Um Cp de 1,312 diz que a faixa de especificação é 31% mais larga do que a variação de seis sigma do processo.

Cp ignora onde a distribuição está. Se a média fosse 18,5 ou 21,5, com a mesma dispersão, o Cp continuaria 1,312. É um índice de potencial, e o nome correto para ele é esse: capabilidade potencial.

Isso torna o Cp inútil sozinho e valioso em par. Em par com o Cpk, ele separa dois problemas de ações opostas: largura demais pede redução de variação, deslocamento pede ajuste de ponto de operação.

Cpk e o que a distância para o Cp revela

Cpk mede a distância da média até o limite mais próximo, em unidades de três sigma. Ele é o menor entre dois valores:

• Cpu, que é o limite superior menos a média, dividido por três vezes o sigma dentro: (22,0 menos 20,5455) dividido por 1,5240, ou 0,954;
• Cpl, que é a média menos o limite inferior, dividido por três vezes o sigma dentro: (20,5455 menos 18,0) dividido por 1,5240, ou 1,670.

O Cpk é 0,954, o menor dos dois. E a leitura mais informativa da planilha de capabilidade não é o valor isolado: é a distância entre 1,312 e 0,954.

Quando Cp e Cpk são iguais, o processo está centrado no meio da faixa. Quando o Cpk é menor, existe descentralização, e o tamanho da diferença mede quanto. A conta direta é o índice k: o deslocamento de 0,5455 Nm dividido pela metade da tolerância, que é 2,0, resulta em 0,273. O processo consumiu 27,3% da folga só com o desvio de centro.

Isso separa a conversa. Reduzir a dispersão em 28% é um projeto de meses, provavelmente um ciclo DMAIC inteiro. Mover a média de 20,5455 para 20,0 pode ser uma calibração de torquímetro na próxima parada. Trocar o alvo é o que transforma um Cpk de 0,954 num Cpk igual ao Cp, 1,312, sem tocar na variação.

Pp e Ppk: a mesma conta com o outro sigma

Pp e Ppk usam as fórmulas de Cp e Cpk, trocando o sigma dentro pelo sigma global. Não há nenhuma outra diferença.

Os índices de performance são sempre menores ou iguais aos de capabilidade, porque o sigma global é maior ou igual ao sigma dentro. Quando Pp e Cp coincidem, não há variação relevante entre subgrupos.

O que o par de baixo entrega é a experiência do cliente, que recebe peças do período inteiro e não de uma hora específica. Ppk de 0,856 é o que a produção apresentou no turno. Já o Cpm entra quando o alvo importa mais que o centro da faixa, e penaliza o afastamento do alvo mesmo dentro da especificação.

Quando usar cada par

A escolha depende da pergunta e do momento, não de gosto.

A regra prática que resolve quase todos os casos: reporte os quatro. Cp e Cpk dizem o que o processo consegue no melhor dos seus momentos, Pp e Ppk dizem o que ele entregou. A diferença entre os pares é a oportunidade que está em estabilidade, não em tecnologia. No caso do torque, Cpk 0,954 contra Ppk 0,856 é pouco: o problema real está na distância entre Cp e Cpk.

A estrutura da planilha, aba por aba

Uma planilha de capabilidade que funciona separa entrada, verificação e resultado. Misturar os três numa aba só é o que produz planilha que ninguém audita seis meses depois.

1. Aba de dados brutos: uma linha por medida, com colunas de data, hora, turno, operador, máquina, lote e valor. Nada de fórmula aqui.
2. Aba de parâmetros: limite inferior, limite superior, alvo, unidade, tamanho do subgrupo e a constante d2 correspondente. Um lugar só para mudar tudo.
3. Aba de estabilidade: as cartas X-barra e R, com os limites calculados e os testes de sequência marcados por fórmula condicional.
4. Aba de normalidade: o histograma, o gráfico de probabilidade e a estatística do teste com o valor-p.
5. Aba de índices: Cp, Cpu, Cpl, Cpk, Pp, Ppu, Ppl, Ppk, os dois sigmas e a conversão para ppm.
6. Aba de laudo: uma tela para imprimir, com os quatro índices, a conclusão e a data da coleta.

Dois travamentos evitam a maior parte dos erros. O primeiro bloqueia o cálculo dos índices enquanto a aba de estabilidade estiver reprovando, exibindo a mensagem no lugar do número. O segundo tranca os limites de especificação com senha, porque a tentação de arredondar a especificação aparece justamente quando o índice sai abaixo do combinado.

O histograma da aba de normalidade não é enfeite: é o único lugar onde bimodalidade e truncamento aparecem antes de o índice mentir.

O teste de normalidade e o que ele decide

A conversão de índice em taxa de defeito assume distribuição normal. Se a premissa falha, o índice continua calculável e a previsão de ppm deixa de valer.

O teste usual em planilha é o de Anderson-Darling, mais sensível nas caudas, que é onde a previsão de defeito acontece. Nos 40 valores do caso, a estatística A-quadrado ajustada deu 0,336, com valor-p aproximado de 0,51: não há evidência contra a normalidade, e o cálculo segue.

Três cuidados na leitura do teste:

• valor-p alto não prova normalidade, apenas não fornece evidência contra ela, e com 40 pontos o teste tem pouco poder;
• com amostra muito grande, acima de 500 pontos, o teste reprova desvios pequenos e irrelevantes para a decisão;
• o teste deve rodar sobre dados de processo estável, porque mistura de duas médias reprova normalidade sem que a distribuição subjacente seja não normal.

Por isso o teste nunca decide sozinho. Decide junto com o histograma e o gráfico de probabilidade, onde o padrão do afastamento da reta diz mais que o número: curvatura indica assimetria, formato de S indica cauda pesada.

O que fazer quando o dado não é normal

A primeira pergunta não é qual transformação usar, e sim se a não normalidade é natural da característica ou sintoma de um problema. Planeza, circularidade, rugosidade e tempo de ciclo são naturalmente assimétricas: têm limite físico em zero e cauda só de um lado. Nesses casos, forçar a normal é o erro.

• Mistura de populações, quando duas máquinas ou dois lotes entram na mesma amostra: separar e analisar cada uma, nunca transformar.
• Truncamento por inspeção, quando peças fora do limite foram retiradas antes da medição: o dado está corrompido na origem e nenhuma técnica recupera.
• Resolução insuficiente do instrumento, com poucos valores distintos: o histograma vira pente e o teste reprova por discretização.
• Assimetria genuína da característica: aí sim vale transformação ou distribuição alternativa.

Há duas saídas técnicas. A primeira é a transformação de Box-Cox ou de Johnson: normaliza o dado e permite usar as fórmulas de sempre, com os limites de especificação transformados junto. A segunda é o método dos percentis de uma distribuição ajustada, como Weibull ou lognormal, em que o Ppk sai da distância entre a mediana e os percentis 0,135% e 99,865%.

Nas duas, o laudo precisa declarar a distribuição e o método. Ppk de Weibull e Ppk normal não são comparáveis, e misturar os dois na mesma série histórica é um erro que passa despercebido.

De Cpk para ppm: a tabela de conversão

O índice vira taxa de defeito pela área da cauda da normal. A distância da média até o limite é três vezes o Cpk em desvios-padrão, e a fração além desse ponto é a proporção esperada fora.

A coluna de uma cauda vale para especificação unilateral e para processo descentrado, em que a cauda oposta é desprezível. A coluna de total centrado dobra o valor, porque as duas caudas contribuem igual.

No caso do torque, o Cpk de 0,954 projeta 2.098 ppm pela cauda superior e 0,27 ppm pela inferior, totalizando cerca de 2.098 peças ruins por milhão. Pelo Ppk de 0,856, a projeção sobe para 5.096 ppm, ou 0,51% da produção.

Aqui está o ponto que o turno contradiz: nenhuma das 40 peças ficou fora da faixa. Não há contradição real. Com 5.096 ppm esperados, a chance de encontrar uma peça ruim em 40 é de cerca de 18%. A amostra pequena não consegue ver o que o índice projeta, e é exatamente por isso que o índice existe.

De onde vêm 1,33 e 1,67

Os dois valores não são convenção arbitrária, e também não são lei. Eles são a tradução de uma distância em desvios-padrão.

Cpk de 1,33 coloca o limite de especificação a quatro sigmas da média, porque 3 vezes 1,33 é aproximadamente 4. Isso projeta 33 ppm em uma cauda. Cpk de 1,67 coloca o limite a cinco sigmas e projeta 0,27 ppm. O salto de 1,33 para 1,67 reduz a taxa esperada por um fator de 120.

Os patamares correntes na indústria:

A ligação com Lean Seis Sigma passa pelo Cp de 2,00, seis sigmas de cada lado. A taxa de 3,4 ppm não sai desse cálculo direto: assume um deslocamento de 1,5 sigma na média ao longo do tempo, equivalente a Cpk de 1,5 com Cp de 2,0.

Em estudo inicial de aprovação, é comum o cliente exigir Ppk de 1,67 e, com a produção estabilizada, aceitar Cpk de 1,33 na rotina. O valor que vale é o do contrato, não o do livro.

Especificação unilateral

Muita característica tem só um limite. Resistência de solda tem mínimo e nenhum máximo útil; concentricidade, rugosidade e vazamento têm máximo e um zero natural embaixo. Nesses casos, Cp e Pp não existem, porque não há tolerância total: existem apenas Cpu ou Cpl, e o Cpk é igual ao que existir.

• Especificação só com limite superior: Cpk igual a Cpu, que é o limite superior menos a média dividido por três sigmas.
• Especificação só com limite inferior: Cpk igual a Cpl, que é a média menos o limite inferior dividido por três sigmas.
• A conversão para ppm usa apenas a cauda correspondente, ou seja, a coluna de uma cauda da tabela anterior.

O erro frequente é a planilha inventar um limite espelhado para manter a fórmula bilateral, em geral colocando zero como limite inferior. Isso produz um Cp e uma cauda inferior sem significado físico, e infla o resultado.

O segundo erro é aplicar a normal em característica com zero natural, que quase sempre é assimétrica. Rugosidade e vazamento pedem verificação de distribuição antes de qualquer conversão para ppm, e costumam terminar em ajuste de lognormal.

O erro de calcular capabilidade em processo fora de controle

Suponha que os mesmos 40 valores tivessem vindo de duas condições: 20 peças com média 20,0 e 20 peças com média 21,1, por troca de ferramenta no meio do turno.

O desvio-padrão global incorpora o salto de 1,1 Nm entre as condições e cresce, então o Ppk despenca. O sigma dentro continua pequeno, porque cada subgrupo veio de uma condição só, e o Cpk quase não se mexe.

O resultado é Cpk aprovado com Ppk reprovado e nenhuma explicação na planilha, porque o cálculo trata a mistura como distribuição única. A distribuição real tem dois picos e a conversão em ppm sobre ela não descreve nada.

Três consequências de calcular assim:

• o número não se reproduz, e a nova coleta na semana seguinte dá outro valor sem nenhuma mudança no processo;
• a ação corretiva mira a dispersão quando o problema é deslocamento, e gasta meses em um projeto que não resolve;
• o índice reportado ao cliente não descreve a produção, e a primeira reclamação de campo derruba a credibilidade da série inteira.

É por isso que o plano de controle define a frequência de recoleta e o gatilho de reanálise: capabilidade tem validade, e ela vence a cada mudança de máquina, material, método ou instrumento.

Quantos dados a planilha precisa

O índice é uma estimativa, e estimativa tem incerteza. Essa é a coluna que nenhuma planilha de capabilidade traz e que muda a conversa.

Com os 40 valores do caso e Cpk de 0,954, o intervalo de confiança de 95% vai de 0,72 a 1,19: não dá para afirmar se o processo está em 0,7 ou em 1,2. Com 125 valores e a mesma estimativa pontual, o intervalo estreita para 0,82 a 1,09, faixa de diagnóstico que já sustenta um laudo de aprovação.

A referência para estudo de aprovação é de no mínimo 25 subgrupos de 5, ou 125 medidas, num período que inclua a variação normal de turno, lote e operador. Coleta de uma hora só mede uma hora, por melhor que seja a planilha. E quando o Cpk exigido é 1,33 e o estimado é 1,30 com 40 pontos, não há diferença detectável: a decisão certa é aumentar a amostra, não negociar o índice.

Como apresentar o resultado

O laudo de uma análise de capabilidade cabe em uma página, sempre nesta ordem:

1. Identificação: característica, especificação, unidade, instrumento e o resultado do estudo de sistema de medição.
2. Período e composição da amostra: quantas peças, quantos subgrupos, quais turnos e lotes.
3. Evidência de estabilidade: as duas cartas, com a declaração de que nenhum teste reprovou.
4. Evidência de normalidade: histograma, valor-p do teste e a distribuição adotada.
5. Os quatro índices, com os dois sigmas explícitos e o intervalo de confiança do Cpk.
6. A conversão em ppm e a conclusão em uma frase, com a ação decorrente e o responsável.

A conclusão do caso do torque sairia assim. O processo está estável e normal, com Cp de 1,312 e Cpk de 0,954: dispersão adequada, média deslocada 0,55 Nm acima do alvo. Centrar a média eleva o Cpk projetado a 1,312 e reduz a taxa esperada de 2.098 para 83 ppm, sem nenhuma redução de variação.

Esse é o formato que decide alguma coisa: nomeia a ação, dimensiona o ganho e não depende de o leitor saber interpretar índice. A priorização entre características reprovadas sai de um diagrama de Pareto por ppm projetado, não por quem reclamou mais alto.

Quando a característica é crítica e o Cpk fica abaixo do exigido sem correção rápida, a saída provisória é inspeção 100% registrada no plano de controle e revisão do FMEA para elevar a detecção, até que a capabilidade volte ao patamar. Provisório com data, não permanente por inércia.