Carta de controle por atributo: como escolher entre p, np, c e u

Escolher uma carta de controle por atributo não é questão de preferência nem do que a planilha antiga já trazia pronto. A escolha é determinada por duas perguntas objetivas, e as respostas cruzadas apontam exatamente uma carta entre quatro.

A primeira pergunta é o que você conta: peças defeituosas ou defeitos. A segunda é se o tamanho da amostra, ou a área de oportunidade inspecionada, fica constante ou varia de ponto a ponto. Duas respostas cruzadas, quatro combinações, e quatro cartas de controle por atributo para cobri-las.

Errar essa escolha não produz um gráfico levemente impreciso. Produz limites calculados com a distribuição errada. Limite errado gera uma de duas falhas: alarme falso, que queima a credibilidade da carta em duas semanas, ou cegueira, que deixa passar a mudança real.

Este artigo não repete a teoria geral. Se você ainda precisa entender o que é limite de controle e a diferença entre causa comum e causa especial, comece pelo texto sobre carta de controle. Aqui o assunto é só a carta de controle por atributo.

Sobre a procedência dos números: os dois exemplos foram montados para este artigo e conferidos em Python, ponto por ponto e limite por limite. As contas de tamanho mínimo de amostra, de superdispersão e da comparação com carta por variável saíram do mesmo script, com binomial exata onde a aproximação normal não vale.

Carta de controle por atributo: as duas perguntas que decidem

Dado de atributo é dado de contagem: ninguém mede em milímetro nem em newton-metro, alguém olha e classifica. Existem só dois jeitos de contar uma classificação, e por isso só existem quatro cartas de controle por atributo. A escolha entre elas sai de duas perguntas objetivas, não de preferência.

A primeira pergunta é sobre a unidade contada: você conta quantas peças reprovaram, ou quantas não conformidades apareceram? A segunda é sobre o denominador: o número inspecionado por ponto é sempre o mesmo, ou muda a cada lote?

Responda as duas e não sobra escolha. A tabela abaixo é o algoritmo inteiro, e vale para chão de fábrica e para serviço. É repertório mínimo de quem toca controle estatístico de processo na prática.

A segunda pergunta só muda a forma de apresentação dentro da mesma família de cartas de controle por atributo. A primeira troca a distribuição, e por isso dói mais quando é respondida errado.

Defeituoso não é defeito, e o mercado confunde os dois

Uma peça defeituosa é uma unidade que reprovou, e a resposta sobre ela é binária. Um defeito é uma não conformidade individual, e a mesma peça pode carregar cinco defeitos e continuar sendo uma única peça defeituosa.

A consequência é aritmética. O número de defeituosos nunca passa do número de peças inspecionadas, porque cada peça só reprova uma vez. O número de defeitos não tem teto.

É esse teto que separa as distribuições. Com teto e resultado binário por unidade, o modelo é binomial. Sem teto, com eventos raros numa área de oportunidade, é Poisson. Confundir os dois termos é o erro que mais aparece na coleta.

A escolha não é livre: depende do critério de aceitação. Se o cliente devolve a peça ao primeiro defeito, conte defeituoso. Se ele aceita com retrabalho, conte defeito, porque é o defeito que consome hora. Defina isso na folha de verificação antes de coletar. Nenhuma carta de controle por atributo corrige uma contagem mal definida.

As quatro cartas lado a lado: fórmula e pressuposto

Feita a distinção, as fórmulas das quatro cartas de controle por atributo ficam previsíveis. Todas seguem o esqueleto de Shewhart: linha central na média histórica e limites a três desvios padrão da estatística plotada. O que muda é de onde sai o desvio.

Nas binomiais o desvio vem de p vezes um menos p. Nas de Poisson ele vem da própria média, porque ali variância e média são iguais. Essa igualdade é o ponto frágil do modelo, e o manual de estatística de engenharia do NIST traz a derivação completa das quatro.

Em toda carta de controle por atributo, p barra e u barra são médias ponderadas, não médias simples das taxas. A lógica dos três sigma é a de sempre, e a origem do controle estatístico de processo explica por que três e não dois.

Carta p: fração de defeituosos com amostra variável

A carta p plota a proporção de unidades reprovadas em cada amostra. Entre as cartas de controle por atributo, é a que cobre a situação mais comum: lote de tamanho diferente a cada dia, ou amostra que muda conforme o volume produzido.

A linha central é p barra, a proporção global do período base. O desvio padrão de cada ponto depende do n daquele ponto, e é aí que a carta p se separa de todas as outras: cada ponto tem o seu próprio par de limites.

É também a que entra com menos atrito num plano de controle existente, porque o dado já costuma ser coletado para outra finalidade. Aproveitar o registro de inspeção final é o caminho mais curto.

Exemplo completo de carta p com amostra variável

Primeiro exemplo de controle por atributo: inspeção final de conectores injetados, doze lotes, critério de reprovação binário por peça. O tamanho do lote muda porque a campanha de produção varia. Foram 3.400 peças inspecionadas e 166 reprovadas.

A linha central é 166 dividido por 3.400, ou seja, 4,88 por cento. A raiz de p barra (1 menos p barra) vale 0,215499, e esse fator é igual para todos os pontos. Muda só a divisão pela raiz de n.

Para o lote 1, com n igual a 300: 0,215499 dividido pela raiz de 300 dá 0,012442. Três vezes isso dá 3,73 pontos percentuais. Então o limite superior é 8,61 por cento e o inferior é 1,15 por cento.

Só o lote 11 sinaliza: 10,00 por cento contra limite superior de 8,61 por cento. O molde estava com uma cavidade obstruída desde o início do turno. Reproduzir a tabela no modelo de carta de controle em Excel leva poucos minutos.

Por que os limites da carta p respiram de ponto a ponto

No exemplo acima o limite superior vai de 7,93 por cento, no lote de 450 peças, a 10,78 por cento, no lote de 120. Quase três pontos de diferença na mesma carta.

A leitura é essa: numa carta de controle por atributo o limite não descreve o processo, descreve a precisão daquela medida. Amostra pequena carrega mais ruído amostral, então o limite se afasta. Amostra grande aperta o limite porque a estimativa é mais confiável.

O lote 8 deixa isso concreto: registrou 6,00 por cento, acima da média, e não sinalizou, porque com n igual a 200 o limite estava em 9,45 por cento. O lote 11, com 10,00 por cento, sinalizou com n igual a 300.

Faça o contrafactual: se aqueles 10,00 por cento tivessem aparecido num lote de 120 peças, o limite seria 10,78 por cento e não haveria sinal. Quem vê a série sem limites, como no gráfico sequencial, não distingue os dois casos.

Carta np: número de defeituosos com amostra constante

Quando o tamanho da amostra não muda, plote a contagem bruta em vez da fração. É a carta np, matematicamente equivalente à p: as duas sinalizam nos mesmos pontos, porque uma é a outra multiplicada por n.

A vantagem é de leitura. Para quem conta doze peças ruins numa bandeja de 200, doze é o dado real e 6,00 por cento é tradução. Gráfico na língua de quem coleta sobrevive mais.

Com n igual a 200 e p barra de 0,06, a linha central fica em 12,0. O desvio é a raiz de 200 vezes 0,06 vezes 0,94, que dá 3,3586. Os limites ficam em 1,92 e 22,08.

A regra é curta: n rigorosamente constante, use np; n oscilando, use p. Ao lado de outros indicadores de qualidade, a np costuma comunicar melhor. É a carta de controle por atributo que menos precisa de explicação.

Carta c: contagem de defeitos em área de oportunidade fixa

A carta c é a carta de controle por atributo para contagem de defeitos. Ela plota a contagem bruta por item e exige área de oportunidade constante. Área de oportunidade é o espaço onde o defeito pode aparecer: um painel pintado, uma bobina padrão, cem metros de solda.

A fórmula é a mais simples das quatro, porque em Poisson a variância é igual à média. Se c barra vale 4,5 defeitos por painel, o desvio é a raiz de 4,5, que dá 2,1213. Três vezes isso é 6,364, e o limite superior fica em 10,86.

O limite inferior sai negativo: 4,5 menos 6,364 dá menos 1,86, e você adota zero. Daí uma consequência: com c barra abaixo de nove não existe limite inferior positivo, e a carta perde a capacidade de detectar melhoria.

O pressuposto de Poisson pede três coisas: defeitos raros em relação às oportunidades, independentes entre si e com taxa constante ao longo da área. Quando um defeito puxa outro, como respingo de solda em cadeia, ele cai.

Carta u: defeitos por unidade quando a área varia

A carta u é a carta c normalizada. Em vez da contagem bruta, ela plota defeitos por unidade de oportunidade, e por isso compara pontos com áreas diferentes. A linha central é u barra.

É a carta de controle por atributo mais usada em serviço, por razão estrutural. Em serviço o volume quase nunca é constante: pedidos, chamados e faturas mudam todo dia, e o mesmo registro pode acumular vários erros. As duas respostas caem direto na u.

O desvio de cada ponto é a raiz de u barra dividida por n_i. Assim como na carta p, os limites variam de ponto a ponto, mas aqui quem os aperta é o tamanho da área inspecionada.

Defina a unidade de oportunidade antes de coletar e não mude mais. Se hoje é uma fatura e amanhã um lote de dez, u barra muda de escala e a série perde comparabilidade. Estratificar depois com um diagrama de Pareto é o passo natural.

Exemplo completo de carta u numa operação de serviço

Segundo exemplo de carta de controle por atributo, agora em serviço: auditoria de faturamento, dez dias úteis. A cada dia uma amostra de faturas é auditada, e cada fatura pode ter mais de um erro de preenchimento. O volume auditado muda conforme o movimento.

No total foram 575 faturas auditadas e 215 erros. A linha central é 215 dividido por 575, ou seja, 0,3739 erro por fatura. Para o dia 1, com 40 faturas: a raiz de 0,3739 sobre 40 dá 0,0967, e três vezes isso dá 0,290.

A faixa do dia 1 vai de 0,084 a 0,664 erro por fatura. Repita a conta para cada dia trocando só o n, como na carta p. O caminho em planilha está descrito em controle estatístico no Excel.

O dia 9 sinaliza com folga: 0,640 contra um limite de 0,586. Foi o primeiro dia de um contrato novo, com tabela de preços que a equipe não conhecia. Causa localizável, ação óbvia.

O pressuposto binomial das cartas p e np

A binomial, que sustenta as cartas de controle por atributo p e np, exige três condições: resultado binário por unidade, probabilidade p igual para todas as unidades da amostra, e independência entre elas. Valendo as três, a variância da contagem é n vezes p vezes um menos p.

A condição que mais quebra é a segunda. Amostra que junta peças de quatro cavidades de molde com desempenhos diferentes não tem um p único: tem quatro. A variância observada fica maior que a prevista, e a carta aponta fora de controle sem que o processo tenha mudado.

A terceira quebra quando existe efeito de lote. Se a matéria prima de um lote inteiro veio ruim, as peças daquele lote não são independentes: elas compartilham a causa. O efeito é o mesmo, variância inflada.

Existe o caso inverso, menos comum. Amostragem sem reposição em lote finito e pequeno reduz a variância. A carta fica frouxa e deixa passar sinal real, e ninguém reclama de carta que nunca alarma.

O pressuposto de Poisson das cartas c e u

Por trás das outras duas cartas de controle por atributo está Poisson, que descreve contagem de eventos raros numa área de oportunidade, com taxa constante e eventos independentes. A marca do modelo é a igualdade entre variância e média, e ela é testável em um minuto.

Calcule a média das contagens e a variância amostral, e divida uma pela outra. Razão perto de um, Poisson serve. Razão bem acima de um, os limites de três sigma vão ficar apertados demais.

A taxa constante é a condição mais frágil em operação real. Defeito de pintura concentra na borda do painel, erro de digitação concentra no fim do turno. Concentração é o oposto de taxa uniforme.

Independência quebra por contágio. Um desalinhamento de ferramenta produz defeitos em série, não isolados. A contagem continua boa métrica, mas o modelo de variância está errado.

Superdispersão: quando a carta acusa fora de controle o tempo todo

Superdispersão é a variância real ficar acima da que o modelo de controle por atributo prevê. O sintoma é inconfundível: metade dos pontos fora dos limites, mês após mês, sem que investigação nenhuma ache causa. O caótico é o modelo, não o processo.

O caso clássico é a carta p com amostra enorme. Com p barra de 3,0 por cento e n igual a 5.000, o desvio binomial é 0,2412 ponto percentual, e os limites ficam entre 2,276 e 3,724 por cento.

Suponha que o p verdadeiro varie de lote para lote, com desvio real de 1,0 ponto percentual, por diferença de matéria prima. A conta dá 46,9 por cento dos pontos fora dos limites num processo sem causa especial nenhuma.

O mesmo acontece na carta c. Com c barra de 40 chamados por dia, os limites de Poisson ficam em 21,03 e 58,97. Se a variação real entre dias tem desvio de 14, e não os 6,32 previstos, a razão variância sobre média sobe para 4,9 e 17,5 por cento dos dias caem fora.

A correção tem três caminhos. O primeiro é a carta p linha de Laney, que reescalona os limites pelo desvio observado entre pontos: no exemplo o fator é 4,15 e a faixa vai de zero a 6,0 por cento. O segundo é reduzir o n. O terceiro é estratificar.

Tamanho mínimo de amostra para a carta p funcionar

São duas regras para dimensionar a amostra de uma carta de controle por atributo, e elas pedem coisas diferentes. A primeira garante que a aproximação normal dos três sigma seja aceitável: n vezes p barra maior ou igual a 5. A segunda garante limite inferior positivo, e é bem mais exigente.

A conta sai da fórmula: você quer p barra maior que três vezes a raiz de p barra (1 menos p barra) sobre n. Elevando ao quadrado e isolando n, chega-se em n maior que nove vezes um menos p barra, sobre p barra.

Com p barra de 2 por cento isso dá 441 unidades por amostra. Com 1 por cento, 891. Com meio por cento, 1.791. O número cresce rápido quando a qualidade melhora, e é por isso que carta p envelhece mal em processo bom.

Se o n disponível não alcança nem a primeira regra, a carta p não é opção. O caminho é agregar um dia inteiro num ponto ou trocar de métrica. Vale revisar o plano de amostragem antes de forçar a carta.

O limite inferior negativo e o que fazer com ele

Toda carta de controle por atributo pode produzir limite inferior negativo, e isso não é erro de conta. A fórmula é simétrica, mas a grandeza não pode ser menor que zero. No exemplo, o lote 4 tem n igual a 120 e limite de menos 1,02 por cento.

A conduta padrão é truncar em zero e registrar que aquele ponto não tem limite inferior. Truncar é correto; esconder não é.

As três condições de limite inferior positivo nas cartas de controle por atributo são fáceis de decorar. Na carta p, n maior que nove vezes um menos p barra sobre p barra. Na carta c, c barra maior que nove. Na carta u, n maior que nove sobre u barra.

A consequência é maior do que parece: sem limite inferior, a carta só enxerga piora. Um projeto que derrubar a taxa pela metade não produz sinal estatístico nenhum.

Por que atributo precisa de amostra muito maior que variável

Classificar joga informação fora. Quando você mede um diâmetro e anota 50,12 milímetros, o dado carrega a distância até o limite. Quando anota apenas passa, ele vale um bit.

A conta mostra o prejuízo. Tome um processo centrado com especificação a três sigma, o que dá 0,27 por cento de peças fora. A média se desloca um sigma e a fração fora sobe para 2,28 por cento.

Uma carta de médias com subgrupo de cinco peças detecta esse deslocamento com probabilidade de 0,2225 por subgrupo. Isso dá 4,5 subgrupos em média até o alarme, ou seja, 22,5 peças medidas.

A carta p precisa de n igual a 1.500 por amostra para ter alarme falso comparável, um a cada 326 amostras. Com esse n o sinal vem já na primeira amostra: 1.500 peças inspecionadas. São 67 vezes mais unidades para o mesmo veredito.

Por isso a carta de controle por atributo é ferramenta de acompanhamento amplo, não de detecção fina. Em projeto de método DMAIC ela serve na fase de medição e cede lugar à carta de variável na fase de controle.

Quando não usar carta de controle por atributo

A regra é direta: se existe medida contínua por trás da classificação, meça a medida. Passa ou não passa num calibrador é quase sempre a versão degradada de uma dimensão.

Três situações pedem a troca imediata. Taxa de defeituosos abaixo de um por cento, em que o n exigido inviabiliza a carta. Necessidade de detectar deslocamento pequeno e rápido. E qualquer discussão de capabilidade, que o controle por atributo não resolve.

Índice de capabilidade do processo precisa de distribuição contínua e de limites de especificação. Dado de atributo não entrega nenhum dos dois, e ppm convertido em sigma equivalente é estimativa grosseira, não medida de capacidade.

Antes de decidir, olhe a forma dos dados. Um histograma da medida contínua mostra em segundos se existe informação sendo descartada pela classificação.

Os erros de aplicação que mais aparecem

A maior parte dos problemas de uma carta de controle por atributo não está na fórmula, e sim em decisões tomadas antes do gráfico existir. A lista cobre o que mais aparece em auditoria.

1. Contar defeito e plotar em carta p. O denominador vira peças e o numerador vira ocorrências, então a fração pode passar de um e a variância está errada.
2. Usar carta np com n oscilando. A carta passa a reagir ao volume produzido em vez de reagir ao processo.
3. Tirar média simples das proporções para achar a linha central, em vez da média ponderada pelo total inspecionado.
4. Manter limites fixos numa carta p com n variável, porque a planilha calculou uma vez e ninguém reviu a fórmula.
5. Recalcular os limites a cada ponto novo. O período base precisa ser um trecho estável e congelado, senão a carta persegue a própria deriva.
6. Ignorar superdispersão e investigar cada ponto fora, o que ensina a equipe a desconfiar do gráfico.
7. Mudar o critério de inspeção no meio da série, o que desloca p barra sem nenhuma mudança real de processo.
8. Desenhar a meta de qualidade como se fosse limite de controle, confusão tratada em limites de controle e limites de especificação.
9. Plotar a carta sem um plano de ação para fora de controle definido. Sinal sem resposta combinada vira ruído visual em poucas semanas.

Se for corrigir uma coisa só, corrija a primeira. Contar defeito em carta de defeituoso contamina o cálculo inteiro e não aparece no gráfico: tudo parece funcionar.