Carta de controle por variável: X-barra, R, S e I-MR

A carta de controle por variável é a que monitora uma medida contínua, e ela detecta a mesma mudança de processo com uma fração da amostra que a carta por atributo exigiria. A razão é simples: a medida carrega a distância até o limite, e o passa ou não passa descarta essa distância.

O número é grande. Para um deslocamento de um desvio-padrão na média, cinco peças medidas dão a mesma chance de sinal que 72 peças inspecionadas em passa e não passa. Quando dá para medir, medir compensa.

A segunda tese deste texto é que a escolha entre as três famílias não é preferência. X-barra e R, X-barra e S e I-MR são decididas pelo tamanho do subgrupo que a coleta permite, e cada uma tem fórmula, constante e limitação própria.

Você vai ver as fórmulas, de onde saem as constantes e a ordem correta de leitura. Depois vêm um caso completo de X-barra e R com dez subgrupos de cinco, a formação racional do subgrupo, a autocorrelação na I-MR e a verificação de normalidade.

Os números deste artigo foram montados para ele, no formato do Kit de Gestão da Qualidade da Voitto. São ilustrativos e internamente consistentes: as constantes conferem com a tabela padrão, e as médias, amplitudes, limites e recálculos do caso dos frascos fecham entre si. Não descrevem uma linha real.

A carta de controle por variável e a informação que ela usa

A carta de controle por variável monitora uma característica medida em escala contínua: milímetro, grama, mililitro, segundo, newton-metro. Ela usa o valor da medida, não o veredito de passa ou não passa. É essa diferença de insumo que a faz detectar mudanças com uma fração da amostra que a carta por atributo exigiria.

Pense em dois inspetores diante do mesmo frasco de 250 mL, com tolerância de 245 a 255. O primeiro anota 252,6. O segundo anota aprovado. O segundo jogou fora a distância até o limite, e é ela que antecipa o problema.

Quando a média desloca em direção ao limite, a medida se move desde o primeiro milímetro. A contagem de defeituosos só se move quando alguma peça cruza a linha.

Há três famílias, e a escolha entre elas não é preferência: é consequência do tamanho do subgrupo que a coleta permite. X-barra e R para subgrupo de 2 a 9, X-barra e S para subgrupo de 10 ou mais, I-MR quando o subgrupo é 1.

A lógica geral está em carta de controle e em controle estatístico de processo. O recorte aqui é só o dado contínuo.

Cinco medidas contra 72 inspeções: a conta da amostra

A afirmação de que variável economiza amostra costuma vir sem número. Ela tem número, e é grande.

Tome um processo centrado, com especificação a três desvios-padrão da média. A fração fora é 0,27%. Se a média deslocar um desvio-padrão inteiro, essa fração sobe para 2,28%.

Uma carta X-barra com subgrupo de 5 tem 22,2% de chance de acusar isso já no próximo subgrupo, com cinco peças medidas. O número médio de subgrupos até o primeiro sinal é 4,5, ou 22,5 peças.

Para uma carta por atributo alcançar os mesmos 22,2% de chance de sinal, com o mesmo risco de alarme falso de 0,27%, a amostra precisa ser de 72 peças inspecionadas por ponto. Quase quinze vezes mais peças para a mesma informação.

Pior: na carta de fração defeituosa, com 0,27%, o limite inferior só fica positivo a partir de 3.325 peças por amostra. Abaixo disso ela enxerga piora e é cega para melhora.

A conclusão é curta. Quando existe uma medida, medir compensa. Trocar a medida por um calibrador de passa e não passa para poupar tempo de coleta é economia paga com amostra quinze vezes maior.

As três famílias e o que decide entre elas

O tamanho do subgrupo é o critério primário, e não é escolha livre: vem do processo. Se a operação produz uma batelada por dia, o subgrupo é 1 e acabou a discussão. Se a máquina entrega 300 peças por hora, cinco consecutivas saem sem esforço.

O critério secundário só entra quando o primeiro deixa margem: subgrupo maior detecta deslocamento menor. Com 5 peças a carta pega um desvio-padrão em 4,5 subgrupos, com 9 peças pega em 2.

A amostragem sistemática por tempo, um subgrupo a cada hora, é o padrão, e tem armadilhas próprias tratadas em amostragem.

As constantes das cartas por variável, de n igual a 2 a 10

As sete constantes abaixo resolvem as três famílias. Elas não são números de convenção: saem da distribuição da amplitude e do desvio-padrão em amostras de uma população normal.

Repare que D3 vale zero até n igual a 6 e B3 até n igual a 5. Não é arredondamento: em subgrupo pequeno o limite inferior da dispersão cairia abaixo de zero, e amplitude negativa não existe.

Para implementar essa tabela em planilha, o passo a passo está em modelo de carta de controle em Excel.

De onde vêm A2, d2, D3 e D4

O d2 é a razão esperada entre a amplitude de uma amostra e o desvio-padrão da população normal. Em amostras de 5, a amplitude média vale 2,326 desvios-padrão, então R-barra dividido por 2,326 estima o sigma.

O A2 é atalho de conta. O limite da média fica a três erros-padrão da média geral, e o erro-padrão é sigma sobre a raiz de n. Trocando sigma por R-barra sobre d2, sobra três dividido por d2 vezes raiz de n: em n igual a 5, 3 sobre 2,326 vezes 2,236, ou 0,577.

O d3 é o desvio-padrão da amplitude, também em unidades de sigma. D3 é 1 menos três vezes d3 sobre d2, truncado em zero, e D4 é 1 mais três vezes d3 sobre d2. Para n igual a 5, d3 vale 0,864: D4 sai 2,114 e D3 sairia negativo, virando zero.

O A3, o B3 e o B4 seguem o mesmo raciocínio com c4 no lugar de d2. O c4 vale 0,940 para n igual a 5. A tabela inteira pressupõe normalidade, e é por isso que a verificação de forma não é opcional.

X-barra e R: as fórmulas

Duas cartas, sempre as duas juntas. A X-barra acompanha a média do subgrupo e responde se o processo mudou de posição. A R acompanha a amplitude e responde se mudou de dispersão. Uma sem a outra deixa metade do processo fora de vista.

Com m subgrupos de tamanho n, calcule média e amplitude de cada subgrupo. Depois a média das médias, linha central da X-barra, e a média das amplitudes, linha central da R.

• Carta R, limite superior: D4 vezes R-barra.
• Carta R, limite inferior: D3 vezes R-barra, que é zero para n até 6.
• Carta X-barra, limite superior: X-barra-barra mais A2 vezes R-barra.
• Carta X-barra, limite inferior: X-barra-barra menos A2 vezes R-barra.

Nenhuma dessas fórmulas usa a especificação. Os limites de controle vêm da variação do processo e de nada mais, ponto tratado em limites de controle e limites de especificação.

A carta R primeiro, sempre

Esta é a regra de leitura que mais se quebra na prática, e a consequência é silenciosa.

O limite da X-barra é A2 vezes R-barra. Se a dispersão do processo estiver instável, R-barra é a média de amplitudes que vêm de processos diferentes, e o número resultante não representa nenhum deles. O limite calculado sobre essa média é largo demais ou estreito demais, sem que a carta avise.

Uma única amplitude alta, de um subgrupo com problema de fixação, eleva R-barra e alarga os limites da X-barra. A carta passa a aceitar deslocamentos que deveria acusar: o processo piora e o gráfico fica calmo.

1. Monte a carta R e verifique os pontos contra D3 e D4.
2. Se houver ponto fora, investigue a causa, trate e remova o subgrupo do cálculo.
3. Recalcule R-barra com os subgrupos remanescentes.
4. Só então calcule os limites da X-barra com o novo R-barra.
5. Leia a X-barra e aplique os testes de padrão.

A mesma ordem vale para a carta S e para a MR da I-MR. Dispersão antes de posição, em todas as famílias.

O caso: dez subgrupos de cinco frascos

Uma envasadora de 250 mL, com cinco frascos consecutivos a cada hora, durante dez horas. Consecutivos é decisão deliberada: o subgrupo captura só a variação de curto prazo, e deixa a variação entre horas aparecer entre subgrupos.

A soma das dez amplitudes é 16,5, então R-barra vale 1,650 mL. A soma das dez médias é 2.505,86, então X-barra-barra vale 250,586 mL.

Com n igual a 5, A2 vale 0,577, D3 vale zero e D4 vale 2,114. Os brutos vieram de uma folha de verificação com hora, bico de envase e operador em cada linha, o que vai importar adiante.

Passo 1: a carta R do caso

Limite superior: 2,114 vezes 1,650, ou 3,488 mL. Limite inferior: zero. Linha central em 1,650.

As dez amplitudes vão de 1,3 a 2,1. A maior delas, 2,1 no subgrupo 1, está bem abaixo de 3,488. Nenhum ponto fora.

Nem há padrão: nenhuma sequência de sete pontos do mesmo lado da linha central, nenhuma tendência de sete subindo ou descendo. A lista completa está em regras de decisão do CEP.

A dispersão está sob controle. Isso autoriza usar R-barra igual a 1,650 para calcular o limite da média, e é a única coisa que autoriza.

Passo 2: a carta X-barra e o subgrupo 9

Limite superior: 250,586 mais 0,577 vezes 1,650, ou 251,538 mL. Limite inferior: 250,586 menos 0,952, ou 249,634 mL.

Nove das dez médias caem entre 250,20 e 250,50, coladas na linha central. A décima, do subgrupo 9, vale 252,70 e está 1,16 mL acima do limite superior. Sinal claro de causa especial.

Repare no detalhe que fecha o argumento da ordem de leitura. A amplitude do subgrupo 9 é 1,4, uma das menores da série. A máquina não ficou mais errática: ela envasou cinco frascos igualmente consistentes, todos deslocados para cima.

Média deslocada com dispersão intacta é a assinatura de um ajuste de posição: setup trocado, sensor de nível recalibrado, viscosidade alterada. A folha apontou troca de lote de matéria-prima entre a oitava e a nona hora.

A reação padronizada para esse sinal é o que um plano de reação OCAP descreve: quem verifica, o quê e em que ordem. Sem isso, o ponto fora vira pauta de reunião semanal.

O recálculo dos limites depois da causa tratada

Causa identificada e tratada, o subgrupo 9 sai da base de cálculo. Ele não some do gráfico: fica marcado, com a anotação da causa, porque histórico é evidência.

Com os nove subgrupos restantes, R-barra passa de 1,650 para 1,678 e X-barra-barra cai de 250,586 para 250,351. Os novos limites da X-barra ficam em 249,383 e 251,319, e o da carta R em 3,547.

A linha central caiu 0,235 mL. Nenhum dos nove pontos restantes viola os novos limites, então a base está limpa e serve de referência para o período seguinte.

Quanto a recalcular no dia a dia, a regra é estreita. Recalcule quando houver mudança deliberada e documentada no processo, como troca de equipamento, de método ou de matéria-prima homologada. Recalcule também ao encerrar a fase inicial de estudo. Nunca recalcule porque o ponto saiu fora: isso é apagar o alarme, não resolvê-lo.

X-barra e S: por que a amplitude perde eficiência

A amplitude usa dois valores do subgrupo, o maior e o menor, e descarta os do meio. Com n igual a 2 não há descarte e ela é ótima. Conforme n cresce, a fração de informação ignorada aumenta, e a estimativa do desvio-padrão fica mais ruidosa.

Perda de eficiência significa limites com mais incerteza para o mesmo número de subgrupos. Em n igual a 10, usar R em vez de S equivale a jogar fora 15% das amostras coletadas.

Há um segundo motivo, menos citado. A amplitude depende dos dois extremos, então um valor atípico a domina. O desvio-padrão distribui o peso entre todos os valores.

Daí o corte em 10, que é convenção prática e não teorema. Abaixo dele a perda é pequena e a amplitude ganha por ser calculável de cabeça. Acima dele, com planilha ou coleta automática, não há motivo para insistir nela.

As fórmulas da carta S: A3, B3 e B4

A estrutura é idêntica, trocando a amplitude pelo desvio-padrão amostral de cada subgrupo. Calcule o s de cada subgrupo e depois S-barra, a média deles.

• Carta S, limite superior: B4 vezes S-barra.
• Carta S, limite inferior: B3 vezes S-barra, que é zero para n até 5.
• Carta X-barra, limite superior: X-barra-barra mais A3 vezes S-barra.
• Carta X-barra, limite inferior: X-barra-barra menos A3 vezes S-barra.

No caso dos frascos, o s de cada subgrupo vai de 0,532 a 0,791, e S-barra vale 0,647. Com n igual a 5, B4 é 2,089 e A3 é 1,427.

O limite da carta S sai em 1,351. Os limites da X-barra saem em 249,663 e 251,509, contra 249,634 e 251,538 pela via da amplitude. A diferença é de três centésimos de mililitro.

Em n igual a 5 as duas rotas chegam ao mesmo lugar e a escolha é operacional. Em n igual a 15 elas divergem o bastante para importar, e aí a carta S é a certa.

Detalhe de implementação: use o desvio-padrão amostral, com divisor n menos 1. A versão populacional subestima S-barra e estreita os limites, como mostra controle estatístico no Excel.

I-MR: quando não existe subgrupo

Em muitos processos não dá para formar subgrupo racional. A batelada de reator é uma só, a análise de laboratório consome a amostra, o indicador mensal dá um número por mês. Nesses casos o subgrupo é 1 e a família é a I-MR.

A carta I plota cada valor individual. A carta MR plota a amplitude móvel, o módulo da diferença entre valores consecutivos. Com m pontos existem m menos 1 amplitudes móveis.

A dispersão vem de MR-barra dividido por d2, com d2 igual a 1,128, o valor da tabela para n igual a 2. Faz sentido: cada amplitude móvel é a amplitude de uma amostra de dois.

• Carta MR, limite superior: 3,267 vezes MR-barra, que é o D4 de n igual a 2.
• Carta MR, limite inferior: zero.
• Carta I, limite superior: X-barra mais 2,66 vezes MR-barra.
• Carta I, limite inferior: X-barra menos 2,66 vezes MR-barra.

O 2,66 é três dividido por 1,128. Não use o desvio-padrão do conjunto todo para montar os limites da carta I: ele incorpora a variação entre pontos que a carta deveria detectar, e os limites saem largos demais.

Por que a I-MR enxerga menos

A perda de sensibilidade é grande e quantificável. Para o mesmo deslocamento de um desvio-padrão na média, a X-barra com subgrupo de 5 sinaliza em média em 4,5 pontos, e a carta I leva 43,9.

Quase dez vezes mais pontos para o mesmo sinal. Com coleta diária, um deslocamento que a carta de subgrupos pegaria numa manhã leva mais de dois meses para aparecer na de individuais.

A origem é a média. A média de cinco valores tem erro-padrão 2,24 vezes menor que o valor individual, então o mesmo deslocamento ocupa 2,24 vezes mais espaço na escala.

Duas consequências diretas. Onde for possível formar subgrupo, forme, ainda que de 2. E na I-MR os testes de padrão valem mais que em outras cartas, porque sequência e tendência compensam parte da cegueira ao ponto isolado.

Para deslocamento pequeno e persistente em medida individual há as cartas de memória, CUSUM e EWMA, que acumulam o histórico recente em vez de olhar um ponto por vez. São a resposta certa quando a I-MR não serve.

Dados autocorrelacionados: o erro silencioso da I-MR

Autocorrelação é quando o valor de agora depende do anterior. É a regra em processo contínuo: temperatura de forno, nível de tanque, pH de reator, viscosidade em linha. Medidas próximas no tempo se parecem porque o sistema tem inércia.

O problema é direto. Se vizinhos se parecem por inércia, a amplitude móvel fica pequena, MR-barra fica pequeno, e o sigma estimado sai menor que o verdadeiro.

Com correlação de 0,5 entre pontos vizinhos, o sigma estimado vale 71% do real e os limites ficam a 2,12 sigma em vez de três. Com 0,8, o sigma cai a 45% e os limites vão para 1,34 sigma.

O sintoma é uma carta que acusa o tempo todo sem que investigação nenhuma encontre causa. A equipe conclui que o CEP não funciona ali e abandona a ferramenta.

Duas saídas. Espaçar a coleta até a correlação sumir, porque a medida de minuto em minuto costuma ser correlacionada e a de hora em hora não. Ou modelar a série e aplicar a carta sobre os resíduos. Antes das duas, plote o gráfico sequencial.

A formação racional do subgrupo, e o erro de misturar fluxos

Esta é a decisão que mais determina se a carta vai funcionar, e a que menos aparece em treinamento. O princípio cabe em uma frase: dentro do subgrupo só variação de causa comum, e toda variação suspeita entre subgrupos.

A razão é que R-barra, calculado dentro dos subgrupos, define a largura dos limites. Se entrar no subgrupo uma fonte de variação que deveria ser detectada, ela infla R-barra, alarga os limites e some da carta.

Por isso peças consecutivas. Cinco peças seguidas da mesma máquina, no mesmo minuto, com o mesmo operador e o mesmo lote, contêm só o ruído inerente. Tudo que muda ao longo do turno fica entre subgrupos, que é onde a carta olha.

O erro mais comum é montar o subgrupo com fluxos diferentes. Duas máquinas em paralelo, uma centrada em 250,0 e outra em 251,5, com subgrupo de 4 tirando duas de cada. A amplitude dentro do subgrupo passa a conter a diferença de 1,5 mL entre máquinas.

O resultado é uma carta que nunca acusa nada. R-barra infla, os limites se afastam, e a média do subgrupo misto é estável por construção, porque compensa uma máquina com a outra. A máquina descentrada segue produzindo fora, e o gráfico fica verde.

• Uma carta por máquina, por cavidade, por bico ou por linha, quando os fluxos podem divergir.
• Uma carta por turno, quando turno tem efeito conhecido sobre a característica.
• Nunca misture lotes de matéria-prima diferentes dentro do mesmo subgrupo.
• Se o número de cartas ficar inviável, use carta de grupo ou carta de diferenças em relação ao alvo de cada fluxo.

O diagnóstico é barato: se a carta nunca sinaliza em meses e os pontos se aninham no meio da faixa, desconfie do subgrupo antes de comemorar. Qual fluxo entra em qual carta pertence ao plano de controle.

Quantos subgrupos, normalidade e a ponte com capabilidade

Os limites iniciais pedem 25 subgrupos, e o número tem justificativa aritmética. Com n igual a 5, o erro-padrão relativo de R-barra é d3 sobre d2 dividido pela raiz do número de subgrupos, ou 37,2% divididos por essa raiz.

Com 10 subgrupos isso dá 11,7%, e o intervalo de 95% para a largura dos limites é de mais ou menos 23%. Com 25 cai para 7,4% e o intervalo fecha em 15%. Com 50 cai para 5,3%, ganho pequeno para o dobro de coleta.

São 125 medidas, a mesma base que um estudo de capabilidade pede. O período também importa: os 25 precisam cobrir a variação normal de turno, operador e lote, ou os limites descrevem uma tarde e não um processo.

A exigência de normalidade é desigual entre as famílias. A carta X-barra é robusta, porque médias de subgrupos tendem à normal mesmo quando os valores individuais não são. Com dados exponenciais e subgrupo de 5, o alarme falso fica em 0,9% contra os 0,27% de projeto.

A carta I não tem essa proteção. Com os mesmos dados exponenciais o alarme falso vai a 1,8%, quase sete vezes o previsto, todo concentrado na cauda longa. Verifique a forma antes, com um histograma dos valores individuais.

• Assimetria artificial, por mistura de fluxos ou por inspeção que retirou peças antes da medição: corrija a coleta, porque transformar dado corrompido não recupera nada.
• Assimetria natural da característica, como planeza, rugosidade ou tempo de espera: transforme por Box-Cox ou Johnson, ou ajuste a distribuição e derive limites por percentil.
• Se der para formar subgrupo, forme: um subgrupo de 4 ou 5 já resolve boa parte do problema de forma.

Com a carta estável, o passo seguinte é comparar a variação natural com a especificação, terreno de capabilidade do processo e da planilha de capabilidade. Estabilidade primeiro, índice depois. Processo estável e incapaz pede projeto de melhoria estruturado, no formato do método DMAIC.

A lógica das duas cartas nasceu com Shewhart nos anos 1920, história contada em origem do CEP, e sobreviveu um século porque separa ruído de sinal com aritmética que cabe no chão de fábrica.