Planejamento fatorial 2^k: efeitos, interação, ponto central e Excel

Uma injetora de tampas de polipropileno tem três parâmetros suspeitos de causar empenamento: a temperatura do material, a pressão de recalque e o tempo de resfriamento. O engenheiro pode mexer em um de cada vez, como quase todo mundo faz, ou rodar as oito combinações de uma vez num planejamento fatorial 2³. A segunda opção custa 16 corridas e mostra uma coisa que a primeira nunca mostraria.

O que é DOE, quais são as etapas e onde ele se aplica já está no guia de planejamento de experimentos. Aqui o assunto é a conta: a matriz de sinais, o efeito principal, o efeito de interação, o teste de significância, o ponto central e o modelo que prevê a resposta. Tudo com o exemplo da injeção e com quatro experimentos do meu livro refeitos número a número.

No caminho, você baixa uma planilha que a gente montou sem macros. Ela tem abas para o 2² e o 2³ com até quatro réplicas, ordem de execução sorteada, efeitos, coeficientes, t e p-valor, os três gráficos, teste de curvatura e uma aba de previsão. Os dois exemplos deste artigo vêm preenchidos.

O que é planejamento fatorial

Planejamento fatorial é o experimento que testa todas as combinações dos níveis de dois ou mais fatores. No fatorial 2^k, cada fator tem dois níveis, baixo e alto, e o total de ensaios é 2 elevado a k. Ele estima o efeito de cada fator e as interações com as mesmas corridas.

O capítulo 30 do Guia Prático Lean Seis Sigma, “Ferramentas de Melhoria”, tem a seção 30.2 inteira sobre o tema. Na página 410, eu escrevo que o DOE “fornece informações muito relevantes para validar e direcionar as ações de melhoria definidas dentro do plano de ação”. Na página 411 vem a escolha que este artigo segue: “Geralmente, o experimento mais utilizado na indústria é o caso particular em que todos os fatores apresentam dois níveis (baixo e alto)”.

Dois níveis por fator parece pouco, e é de propósito. O objetivo do primeiro experimento é descobrir quais fatores mexem na resposta e quais interagem. A curva fina de cada um fica para depois, só para os que passaram no filtro.

Por que testar os fatores juntos: o que o “um fator por vez” não vê

A fábrica do exemplo já operava com 60 bar de recalque, 220 °C e 12 s de resfriamento, e o empenamento médio nessa condição era de 0,550 mm. O engenheiro começou pelo método tradicional. Subiu a temperatura para 240 °C, mantendo o resto, e o empenamento foi para 0,740 mm. Concluiu que temperatura alta piora e voltou para 220 °C.

Depois aumentou o resfriamento para 18 s, e o empenamento caiu para 0,475 mm. Parou ali, satisfeito, com três condições testadas. A quarta combinação, 240 °C com 18 s, nunca entrou na conta. O fatorial a testou e encontrou 0,415 mm, a melhor das quatro.

O motivo tem nome: interação. O efeito da temperatura depende do tempo de resfriamento. A leitura da engenharia, no exemplo, foi que o material mais quente só compensa quando a peça tem tempo de esfriar dentro do molde. Você já viu um ajuste que funcionou numa máquina e falhou na outra? Muitas vezes é isso. No livro, na página 412, a definição é: “No experimento de vários fatores, pode ocorrer a interação, que é quando a combinação de dois ou mais fatores não é aditiva, e sim multiplicativa”.

O método de um fator por vez tem mais dois defeitos. Ele gasta mais corridas para a mesma precisão, porque cada comparação usa só uma parte dos dados. E ele confunde o efeito do fator com tudo o que mudou entre um teste e outro, como lote de resina ou temperatura da sala. O fatorial resolve as duas coisas: cada corrida entra no cálculo de todos os efeitos, e a ordem sorteada espalha o que não foi controlado.

Notação do fatorial 2^k: fatores, níveis, ensaios e réplicas

Quatro palavras organizam o resto do artigo. O fator é a variável controlável que você muda de propósito, como temperatura, pressão ou fornecedor. O nível é o valor que o fator assume no ensaio, codificado como −1 no baixo e +1 no alto. O ensaio é uma combinação de níveis. A réplica é a repetição completa de um ensaio, montando de novo a condição, em outra corrida.

Réplica e repetição não são a mesma coisa. Medir três vezes a mesma tampa é repetição e mede o sistema de medição. Injetar outra tampa com o molde reajustado é réplica e mede o ruído do processo. O erro que testa os efeitos sai da réplica.

A tabela mostra por que o fatorial completo para de compensar perto de cinco fatores. A partir daí, a maior parte das corridas serve para estimar interações de terceira ordem ou mais, que quase nunca importam. É aí que entra o fatorial fracionado, tratado mais à frente.

Matriz de sinais e ordem padrão de Yates

A matriz de sinais lista os ensaios numa ordem fixa, chamada ordem padrão de Yates. A coluna A alterna −1 e +1 a cada linha. A coluna B alterna a cada duas linhas, e a C a cada quatro. Com quatro fatores, a D alterna a cada oito. As colunas de interação saem multiplicando os sinais: AB é A vezes B na mesma linha, e ABC é o produto dos três. O manual de estatística do NIST numera os oito cantos do cubo 2³ por essa mesma ordem.

A matriz tem duas propriedades que fazem a conta funcionar. Cada coluna tem quatro sinais + e quatro sinais −, e qualquer par de colunas é ortogonal: a soma dos produtos linha a linha é zero. Por isso o efeito de um fator não contamina o de outro, e cada um pode ser calculado de forma independente.

A coluna da direita traz as médias do exemplo da injeção, com A como temperatura (220 e 240 °C), B como pressão de recalque (40 e 60 bar) e C como tempo de resfriamento (12 e 18 s). Cada média vem de duas réplicas, num total de 16 corridas. Os dados são fictícios, montados para este artigo, e estão marcados assim na planilha.

Aleatorização e blocos: a ordem de execução não é a da tabela

A ordem padrão serve para organizar a conta, e só. Rodar o ensaio 1, depois o 2, depois o 3 coloca todos os ensaios com C baixo no começo do turno e todos com C alto no fim. Se o molde esquenta ao longo do dia, o aquecimento entra no efeito do resfriamento sem ninguém perceber.

A planilha sorteia a sequência de execução das corridas. No exemplo, a primeira corrida foi a réplica 1 do ensaio 5, a segunda foi a réplica 1 do ensaio 1, e a terceira foi a réplica 2 do ensaio 4. Na página 413, o livro desmarca a aleatorização no Minitab para o leitor reproduzir a tabela, e avisa: “Na prática, os experimentos devem ser realizados de maneira aleatória para evitar o viés”.

Quando uma fonte de ruído conhecida não pode ser mantida constante, como o turno, o lote de matéria-prima ou o dia, ela vira bloco. Na página 422 eu defino que “um bloco é uma variável categórica que explica a variação no resultado que não é causada pelos fatores”. Cada bloco recebe uma réplica completa, e a análise separa a diferença entre blocos antes de testar os fatores.

O exemplo do livro, nas páginas 422 a 424, mostra o ganho. Uma empresa de zincagem estudou concentração do reagente, temperatura e tempo da limpeza contra o índice de retrabalho, com uma réplica em cada turno. O turno 2 retrabalhou em média 2,9 pontos a menos que o turno 1. Com o turno como bloco, a concentração dá t de −5,25 e p de 0,001. Sem o bloco, a mesma diferença vai para o erro, e o t cai para −3,42.

Como calcular o efeito principal e o efeito de interação

A fórmula está na página 412 do livro: efeito = (média do sinal +) − (média do sinal −). O efeito principal da temperatura, A, é a média dos quatro ensaios com A em +1 menos a média dos quatro com A em −1.

1. Média em +1: ensaios 2, 4, 6 e 8. (0,875 + 0,740 + 0,515 + 0,415) ÷ 4 = 0,636 mm.
2. Média em −1: ensaios 1, 3, 5 e 7. (0,695 + 0,550 + 0,665 + 0,475) ÷ 4 = 0,596 mm.
3. Efeito de A: 0,636 − 0,596 = +0,040 mm. Na média, subir a temperatura aumenta o empenamento em 0,04 mm.

A interação usa a mesma regra, só que com a coluna AC. Os ensaios 1, 3, 6 e 8 têm sinal +, com média de 0,544 mm. Os ensaios 2, 4, 5 e 7 têm sinal −, com média de 0,689 mm. O efeito AC é −0,145 mm, mais de três vezes o efeito principal da temperatura.

A leitura física fica mais clara separando os dois tempos de resfriamento. Com 12 s, subir a temperatura aumenta o empenamento em 0,185 mm. Com 18 s, ele cai 0,105 mm. O efeito principal de +0,040 é a média dessas duas respostas opostas. O efeito AC é a metade da diferença entre elas: (−0,105 − 0,185) ÷ 2 = −0,145. Na prática, a conta mostra que falar do efeito da temperatura sem dizer o tempo de resfriamento não faz sentido.

O coeficiente é o efeito dividido por 2. A razão é a escala. O efeito mede a mudança de −1 para +1, que são duas unidades codificadas, e o coeficiente mede a mudança por unidade. É o número que entra na equação do modelo, mais adiante. A planilha calcula os sete efeitos com SOMARPRODUTO da coluna de sinais pela coluna de médias, dividido por 4.

Gráficos de efeitos principais, de interação e Pareto dos efeitos

Gráfico de efeitos principais. Cada fator vira uma linha entre a média em −1 e a média em +1. A inclinação é o efeito. No exemplo, resfriamento e pressão descem com força, de 0,715 para 0,518 mm e de 0,688 para 0,545 mm. A temperatura sobe pouco, de 0,596 para 0,636 mm. Quem lesse só esse gráfico manteria 220 °C.

Gráfico de interação. O eixo horizontal é o primeiro fator do par, e cada linha é um nível do segundo. Linhas paralelas indicam que não há interação. Linhas que se cruzam, como as do par AC, indicam que o melhor nível de um fator depende do outro. Na planilha, você escolhe o par numa célula amarela e o gráfico se refaz.

Pareto dos efeitos. As barras mostram o valor absoluto de cada efeito, do maior para o menor, com uma linha tracejada no limite de significância. Ele organiza a conversa da reunião, igual a um diagrama de Pareto de defeitos. No exemplo, três barras passam da linha: C, AC e B. A barra da temperatura fica logo abaixo, e a seção seguinte explica por que ela continua no modelo.

Os efeitos são significativos? Com réplicas e sem réplicas

Todo efeito calculado tem ruído. A pergunta é se ele é maior do que o ruído explicaria, e a lógica é a de qualquer teste de hipóteses: H0 diz que o efeito verdadeiro é zero. O caminho depende de ter réplica ou não.

Com réplicas. A variação entre réplicas do mesmo ensaio é erro puro. A planilha junta os desvios dos oito ensaios num desvio combinado, Sp, com gl igual ao total de corridas menos o número de ensaios. No exemplo, Sp = 0,0355 mm com 8 gl. O erro padrão de cada efeito é 2 × Sp ÷ √N, em que N é o total de corridas: 2 × 0,0355 ÷ 4 = 0,0178 mm.

O t de cada efeito é o efeito dividido pelo erro padrão, comparado com a distribuição t de 8 gl, a mesma do teste t de Student. O t crítico a 5% é 2,306, e o limite em milímetros fica em 2,306 × 0,0178 = 0,041. É a linha tracejada do Pareto. B, C e AC passam com p abaixo de 0,001. A temperatura fica em p de 0,054.

Ela fica no modelo mesmo assim, por hierarquia. Uma interação significativa carrega junto os efeitos principais que a formam, porque o termo AC só tem sentido com A e C na equação. A planilha aplica essa regra sozinha na coluna do modelo reduzido.

A conta é a mesma da ANOVA do Minitab. Para um efeito com 1 gl, o F da tabela de variância é o t ao quadrado. Conferi os sete t e p-valores da planilha contra o statsmodels do Python, com modelo de mínimos quadrados e todas as interações, e a maior diferença ficou abaixo da 13ª casa decimal.

Sem réplicas. Num 2³ de oito corridas sem réplica, os sete efeitos usam todos os graus de liberdade, e não sobra nada para estimar o erro. A saída é aceitar uma premissa: a maioria dos efeitos é ruído. O gráfico de probabilidade normal dos efeitos mostra isso: os efeitos de ruído caem sobre uma reta, e os verdadeiros ficam longe dela.

O método de Lenth faz a mesma ideia virar número. Ele calcula um pseudo erro padrão, o PSE, a partir da mediana dos efeitos pequenos, e uma margem de erro com t de m ÷ 3 gl, em que m é o número de efeitos. O exemplo do teor de pureza do livro, nas páginas 413 e 414, é um 2⁴ com 16 corridas e nenhuma réplica. O Minitab mostra PEP de Lenth de 0,1875 e a linha do Pareto em 0,482.

Refiz a conta e cheguei nos mesmos 0,1875 e 0,482. Quatro termos passam da linha: concentração com efeito de 6,73, temperatura com 1,88, a interação pressão × catalisador com 0,98 e pressão com 0,95. O próximo, 0,35, fica abaixo. Lenth funciona bem quando poucos efeitos são reais. Se metade deles for grande, a mediana fica inflada, e o método não acha nada. A planilha usa Lenth no 2³ sem réplica e sem ponto central. No 2² sem réplica, com só três efeitos, ela avisa que não há teste e pede réplica.

Planejamento fatorial com ponto central e teste de curvatura

Dois níveis desenham uma reta. Na página 424 eu escrevo que “uma grande preocupação no uso de planejamento fatorial com dois níveis é a suposição da linearidade nos efeitos dos fatores”. Se a resposta faz uma curva entre −1 e +1, o fatorial não enxerga, e a previsão no meio da faixa sai errada.

O ponto central resolve isso com poucas corridas a mais. São ensaios com todos os fatores no meio da faixa, codificados como 0. Eles não mudam nenhum efeito, porque o 0 não pesa na coluna de sinais. Servem para duas coisas: comparar a média do centro com a média dos pontos fatoriais e dar graus de liberdade ao erro quando não há réplica.

O exemplo das páginas 426 a 428 do livro é a Sabores, uma fabricante de sorvetes. O Black Belt do projeto testou açúcar (12 e 16 g/mL), corante (2 e 4 g/mL) e concentração de polpa (30 e 40%) contra a aceitação do picolé de amora. Foram oito ensaios fatoriais e quatro pontos centrais em 14 g/mL, 3 g/mL e 35%.

Com p de 0,201, não há evidência de curvatura, e a reta vale no intervalo testado. O desvio entre os centros também serve de erro para os efeitos. Com ele, açúcar, corante e polpa dão p de 0,002, 0,008 e 0,004, os mesmos da Tabela 30.9. A melhor combinação é 16 g/mL de açúcar, 2 g/mL de corante e 40% de polpa, o ensaio 6, com aceitação de 9,7.

Repare na interação tripla ABC, com efeito de 0,55 e p de 0,053, quase na linha. Com só 3 gl no erro, o teste tem pouca força. Mais pontos centrais dariam mais força ao teste, e cada um custa uma corrida só.

Se a curvatura sair significativa, o livro é direto na página 425: “Se a curvatura for significativa, o experimento só é válido nos pontos testados pelo experimento”. A equação deixa de valer no meio da faixa. O próximo passo é ampliar o desenho para uma superfície de resposta, que acrescenta pontos axiais e estima termos ao quadrado.

Modelo de regressão e previsão da resposta

O fatorial 2^k é uma regressão em variáveis codificadas. O intercepto é a média geral de todas as corridas, e cada coeficiente é o efeito dividido por 2. No exemplo da injeção, mantendo os termos significativos e a temperatura por hierarquia, a equação fica assim:

Empenamento = 0,6163 + 0,0200 A − 0,0713 B − 0,0988 C − 0,0725 AC

Para prever, converta cada nível real para a escala codificada: codificado = (real − centro) ÷ meia faixa. Com 240 °C, 60 bar e 18 s, os três ficam em +1, e o AC também vale +1. A previsão é 0,6163 + 0,0200 − 0,0713 − 0,0988 − 0,0725 = 0,394 mm, perto dos 0,415 mm observados no ensaio 8.

A aba Previsão faz essa conta. Você escolhe a aba de origem, o modelo completo ou o reduzido e digita os valores reais. A planilha avisa quando algum fator sai de −1 a +1, porque ali a equação vira extrapolação.

No exemplo, o resfriamento de 18 s custa 6 s a mais por ciclo. A pergunta natural é se 15 s bastam. O modelo reduzido prevê 0,565 mm com 240 °C, 60 bar e 15 s. Só que esse experimento não tem ponto central, e a reta entre 12 e 18 s é uma hipótese. Antes de mudar o padrão, a fábrica precisaria de corridas de confirmação em 15 s, com pontos centrais.

A validação do modelo segue as regras da regressão. O livro lembra, na página 410, que os resíduos devem ser normais, ter variâncias iguais e não mostrar padrão, e pede R² ajustado alto. O teste de normalidade dos resíduos e o gráfico contra a ordem de execução pegam a maior parte dos problemas. O guia de regressão para melhoria de processo mostra o mesmo cuidado com a faixa de validade, por outro caminho.

Fatorial fracionado 2^k−p: resolução e confundimento

Com cinco fatores, o fatorial completo pede 32 ensaios. O fracionado roda uma fração deles, metade ou um quarto, escolhida para que os efeitos principais continuem estimáveis. Na página 417 o livro recomenda começar por ele “principalmente se a quantidade de fatores for maior ou igual a 5, pois isso pode servir como um filtro para detectar quais são os fatores mais significativos”.

O preço é o confundimento. Num 2⁴⁻¹, o quarto fator é rodado com os sinais da coluna ABC, e D passa a ter o mesmo padrão de ABC. Os dois efeitos viram um só número, e a conta não tem como separá-los. A página do manual de estatística do NIST sobre confundimento mostra a mesma lógica num 2³⁻¹.

• Resolução III: efeitos principais confundidos com interações duplas. Serve só para triagem grosseira.
• Resolução IV: principais livres das duplas, mas as duplas confundidas entre si. O 2⁴⁻¹ é desse tipo.
• Resolução V: principais e duplas livres umas das outras. É a resolução que o livro recomenda como ideal na página 418.

O exemplo do rendimento, nas páginas 419 a 421, é um 2⁴⁻¹ de oito corridas com tempo, temperatura de processamento, temperatura da matéria-prima e pressão. O Pareto mostra C, a temperatura da matéria-prima, com efeito de 5,75, e AB com −2,25, acima da linha de Lenth de 1,412. Refiz e cheguei nos mesmos números.

Só que, nesse desenho, AB está confundida com CD. O −2,25 pode ser tempo × temperatura de processamento, como o livro lê, ou temperatura da matéria-prima × pressão. A conta não decide. Quem decide é o conhecimento do processo ou uma segunda fração que separe os dois. Esse é o raciocínio do Design for Six Sigma: o fracionado filtra, e o completo ou a superfície de resposta confirmam.

Como fazer o planejamento fatorial no Minitab e no Excel

No Minitab, o roteiro do livro tem quatro comandos, todos em Estat, DOE (Planejamento de Experimentos), Fatorial.

1. Criação de um Experimento Fatorial: marque Fatorial com dois níveis, escolha o número de fatores e, em Experimentos, o fatorial completo ou a fração, os pontos centrais, as réplicas e os blocos. Em Fatores, dê nome e níveis. Deixe “Aleatorizar ensaios” marcado.
2. Análise de Experimento Fatorial: escolha a coluna da resposta. A saída traz o Pareto dos efeitos, a tabela de variância com a curvatura e os coeficientes codificados.
3. Gráficos Fatoriais: gera os gráficos de efeitos principais e de interação dos termos que ficaram no modelo.
4. Otimizador de Resposta: procura a combinação que maximiza, minimiza ou atinge um alvo. No teor de pureza do livro, ele indica todos os fatores no alto e prevê 95,8%.

O livro também ensina a reduzir o modelo um termo por vez, começando pelas interações de ordem mais alta. A cada termo retirado, o erro ganha 1 gl e os p-valores mudam um pouco. A planilha mostra o modelo reduzido pela regra da hierarquia em um passo só, e para reduzir de verdade, termo a termo, o Minitab é o caminho mais curto.

No Excel, a planilha deste artigo faz o fatorial completo 2² e 2³ sem macro. Para usar:

1. Baixe pela imagem de qualquer exemplo acima e abra a aba 2² ou 2³.
2. Escreva o nome dos fatores, os níveis baixo e alto, a resposta, o α e se o objetivo é maximizar ou minimizar.
3. Informe as réplicas planejadas e rode as corridas na ordem sorteada das colunas Ordem.
4. Digite as respostas nas células amarelas. Os pontos centrais, se houver, vão numa linha própria.
5. Leia o aviso da matriz e depois a tabela de efeitos, os gráficos e a curvatura. Leve o modelo para a aba Previsão.

Conferi a planilha recalculada no LibreOffice contra Python, com numpy e statsmodels, em 15 configurações. Entraram o exemplo da injeção, quatro experimentos do livro e sete conjuntos aleatórios, com 1 a 4 réplicas e até 5 pontos centrais. Os p-valores do picolé batem com a Tabela 30.9, e o PSE de Lenth do rendimento bate com a Figura 30.8. O teor de pureza, um 2⁴, foi refeito só em Python.

A planilha não trata blocos nem fracionado e supõe o mesmo número de réplicas em todos os ensaios. Para esses casos, o Minitab é a ferramenta certa.

Erros comuns no planejamento fatorial

• Níveis próximos demais. Se 220 e 225 °C mudam o empenamento menos que o ruído, o efeito some no erro. Escolha níveis afastados o bastante para o efeito aparecer, dentro da faixa segura do processo.
• Níveis distantes demais. O oposto também atrapalha: níveis extremos podem parar a máquina ou cair numa região curva, e a reta entre −1 e +1 deixa de representar o processo.
• Rodar na ordem da tabela. Tudo o que muda com o tempo vira efeito falso do fator que muda devagar na matriz.
• Ignorar a interação. No exemplo, quem olhasse só os efeitos principais manteria 220 °C e perderia a melhor combinação.
• Tirar o efeito principal de uma interação significativa. A temperatura com p de 0,054 fica no modelo porque o AC depende dela.
• Extrapolar fora da faixa. O modelo vale entre os níveis testados. Prever 250 °C com um experimento de 220 a 240 °C é chute com fórmula.
• Medir sem saber se o instrumento separa os níveis. Antes do experimento, a análise do sistema de medição diz se o erro do medidor cabe no efeito que se quer ver.
• Chamar repetição de réplica. Medir três vezes a mesma peça estreita o erro artificialmente e faz efeito pequeno parecer significativo.
• Decidir o número de corridas no olho. Quantas réplicas são precisas para ver um efeito de 0,05 mm é pergunta de tamanho de amostra, respondida antes de ligar a máquina.

O fatorial dentro do DMAIC: a fase Melhorar

No método DMAIC, o planejamento fatorial mora na fase Melhorar. A fase Analisar já confirmou quais X importam, com testes de hipóteses e com a matriz de causa e efeito. O experimento entra para achar o ajuste ótimo desses X e provar que a mudança funciona antes de virar padrão. O guia de ferramentas estatísticas mostra onde ele fica entre as outras técnicas do projeto.

Depois do experimento, a condição escolhida vai para o plano de controle com a faixa de operação de cada fator. O controle estatístico de processo acompanha se o ganho se mantém, e a capabilidade do processo mede o antes e o depois contra a especificação.

É ferramenta típica do projeto de Black Belt, e o Green Belt costuma usá-la com apoio de um Black Belt. Ela aparece em projetos de Lean Seis Sigma de manufatura, química e alimentos. O kit de ferramentas Lean Seis Sigma da Voitto traz os modelos das outras fases do projeto.

Para começar, pegue o parâmetro que mais gera discussão no seu processo e os dois que costumam vir junto na mesma conversa. Defina dois níveis para cada um, sorteie a ordem e registre cada corrida num plano de coleta de dados, com hora, operador e lote. Rode as 16 corridas e cole na planilha. Esse é o tipo de resultado que dá gás para o projeto: a briga sobre qual parâmetro mexer vira uma equação com três termos e uma interação que ninguém tinha visto.