Teste t de Student: fórmula, tipos, tabela t e como fazer no Excel

Um fornecedor novo de borracha mandou 8 anéis para homologação, e a dureza média veio quase 2 pontos abaixo da do composto atual. A pergunta da reunião é a de sempre: isso é diferença de verdade ou é a variação de uma amostra pequena? Para média de dado medido, a conta que responde é o teste t de Student.

O mapa de qual teste usar para cada tipo de dado já está no guia de teste de hipóteses, junto com H0, H1 e o p-valor. Aqui o assunto é o teste t por dentro. De onde ele veio, por que a curva t muda com a amostra, as fórmulas dos três tipos, como ler a tabela t e como fazer a conta no Excel e no Minitab.

No caminho, você baixa uma planilha que a gente montou com os três testes em fórmula, sem macros. Ela calcula t, graus de liberdade, p-valor unicaudal e bicaudal, intervalo de confiança da diferença e d de Cohen, confere o resultado com o TESTE.T do próprio Excel e traz a tabela t e três exemplos preenchidos.

O que é o teste t de Student

O teste t de Student compara médias quando o desvio-padrão da população é desconhecido e precisa ser estimado pela amostra. Ele divide a diferença observada pelo erro-padrão e compara o resultado com a distribuição t. Existem três versões: uma amostra contra um valor de referência, duas amostras independentes e amostras pareadas.

A estrutura das três é a mesma: sinal dividido por ruído. O sinal é a diferença de médias que você viu. O ruído é o quanto essa média oscilaria só por acaso, de amostra para amostra. Um t perto de zero diz que a diferença cabe no ruído. Um t grande, para cima ou para baixo, diz que ela fica difícil de explicar pelo acaso.

No Guia Prático Lean Seis Sigma, o capítulo 28, “Testes e Ferramenta para Análise de Dados”, abre a lista dos cinco tipos de teste de hipóteses pelo teste t. Na página 349 eu defino a primeira versão assim: “O teste t para uma amostra determina se a média de uma amostra difere de maneira significativa de um valor especificado (padrão).” As outras duas mudam só a pergunta, e as próximas seções mostram como.

Quem foi Student: Gosset e a cervejaria Guinness

Student é pseudônimo. O autor foi William Sealy Gosset, químico inglês nascido em 1876, contratado em 1899 pela Arthur Guinness Son and Company para trabalhar na cervejaria de Dublin. A biografia do arquivo MacTutor da Universidade de St Andrews resume o feito numa linha: ele inventou o teste t para lidar com amostras pequenas no controle de qualidade da cerveja.

O problema dele é o mesmo do chão de fábrica de hoje. Cada ensaio custa tempo e dinheiro, e a amostra acaba com poucas unidades. A conta usual da época tratava o desvio-padrão da amostra como se fosse o verdadeiro, o que funciona com centenas de dados. Com cinco ou dez medições, a curva normal promete uma precisão que os dados não têm.

Gosset passou o ano letivo de 1906 a 1907 no laboratório de Karl Pearson, em Londres, e descobriu a forma da distribuição combinando matemática com experimentos feitos com números aleatórios, um uso pioneiro do que hoje se chama simulação de Monte Carlo. Publicou o resultado em 1908, na revista Biometrika, no artigo “The probable error of a mean”, assinado como Student. O nome pegou, e a distribuição ficou conhecida como t de Student.

A distribuição t e a normal: o papel dos graus de liberdade

Quando o desvio-padrão vem da própria amostra, ele também erra. Em amostra pequena, às vezes ele sai menor que o real, e o t calculado fica inflado. A distribuição t incorpora esse risco com caudas mais grossas que a da distribuição normal. Valores extremos ficam mais prováveis, e por isso o t precisa ser maior para convencer.

O formato exato depende dos graus de liberdade, ou gl. Pense neles como o número de informações independentes que sobram para estimar a variação. Com n dados, a média consome uma, porque os desvios em torno dela somam zero. Sobram n − 1. Com 18 medições, o teste usa 17 gl.

A tabela mostra por que o teste t salvou o trabalho de Gosset. Com 5 gl, quem usasse a normal rejeitaria H0 a partir de 1,96, quando o limite honesto é 2,571. O alarme falso real passaria bem dos 5% declarados. Acima de 30 dados a diferença fica pequena, mas a t continua sendo a conta correta sempre que o desvio vem da amostra.

Os três tipos de teste t e quando usar cada um

A escolha entre os três sai do desenho da coleta, e não do resultado. Faça duas perguntas. Existe um valor de referência do outro lado? Então é uma amostra. Existem dois grupos? Então pergunte se cada dado de um grupo tem um par natural no outro, como a mesma peça, a mesma pessoa ou a mesma máquina.

O modelo A16 do kit da Voitto, ao lado, é a folha onde cada causa testada ganha H0, H1, teste escolhido, tamanho da amostra e p-valor. O teste t entra nele sempre que o Y é contínuo e a comparação envolve uma ou duas médias.

Nas fórmulas, x̄ é a média, s o desvio-padrão da amostra, n o tamanho, sp o desvio combinado dos dois grupos, d̄ a média das diferenças e sd o desvio delas. As três seções seguintes resolvem um exemplo de cada. Os três são fictícios, montados para a conta ficar fácil de seguir, e estão marcados assim na planilha.

Teste t para uma amostra: fórmula e exemplo

O contrato de manutenção de uma planta de embalagens fixa um tempo médio de resposta de até 45 minutos para chamado de corretiva. O supervisor de produção desconfia que a terceirizada está acima disso. Ele levantou os 18 chamados do mês na ordem de abertura, sem escolher nenhum. A média deu 49,1 minutos, com desvio-padrão de 8,49.

A pergunta tem direção. O supervisor quer saber se o tempo passou da meta, e não se mudou para qualquer lado. Então H0 diz que a média é 45 e H1 diz que ela é maior que 45. Essa decisão foi tomada antes de abrir a planilha, e a próxima seção mostra por que isso pesa.

1. Erro-padrão: 8,49 dividido pela raiz de 18 dá 2,00 minutos.
2. Estatística: (49,06 − 45) / 2,00 dá t = 2,03.
3. Graus de liberdade: 18 − 1 = 17.
4. Valor crítico unicaudal a 5%: 1,740, lido na tabela t ou calculado pela planilha.
5. p-valor unicaudal: 0,029, abaixo de 0,05.

A conclusão em linguagem de negócio: o tempo médio de resposta está acima dos 45 minutos do contrato, a 5% de significância. O limite inferior de confiança unicaudal de 95% fica em 45,6 minutos. Mesmo no cenário mais favorável à terceirizada, a média passa da meta.

Um detalhe dos dados merece olhar. Um dos 18 chamados foi atendido em 28 minutos, bem abaixo dos outros. Ele puxa a média para baixo e o desvio para cima, então trabalha contra a conclusão. Antes de apagar qualquer ponto assim, investigue o que aconteceu naquele chamado, e só retire com causa registrada.

Teste unicaudal ou bicaudal: a escolha que vem antes dos dados

Com os mesmos 18 chamados e H1 “diferente de 45”, o p-valor dobra para 0,059 e o resultado deixa de ser significativo a 5%. O intervalo de confiança bicaudal da média vai de 44,8 a 53,3 minutos e inclui a meta. Nada mudou nos dados, só a pergunta.

O unicaudal é mais sensível no lado escolhido e cego para o outro. Ele faz sentido quando só um lado tem consequência, como tempo acima do contrato, peso abaixo do declarado ou resistência abaixo do mínimo. Quando os dois lados importam, como uma cota que não pode sair do centro, o teste é bicaudal.

A regra que segura o método é simples. A direção se decide antes de olhar a média. Escolher o unicaudal depois de ver que o resultado foi para aquele lado dobra o alfa real, e o guia de H0 e H1 no teste de hipóteses trata dessa armadilha. No exemplo, a direção nasceu do contrato, e por isso o unicaudal é legítimo.

Teste t para amostras independentes: Welch ou variâncias iguais

Volte aos anéis de vedação da abertura. O composto atual teve 20 anéis medidos, com dureza média de 70,0 Shore A e desvio de 1,09. O fornecedor novo, em homologação, mandou 8 anéis, com média de 68,1 e desvio de 3,21. Nenhum anel de um grupo tem par no outro, então o teste é de duas amostras independentes.

No capítulo 28, na página 353, o livro define a condição assim: “Duas amostras são independentes se a extração da amostra de uma das populações não afeta a extração de outra população.” A versão clássica do teste pede também variâncias iguais. É aqui que mora a escolha mais esquecida do teste t.

Os mesmos 28 anéis dão duas conclusões opostas. Pela versão de variâncias iguais, o fornecedor novo é diferente. Por Welch, a amostra não permite concluir nada. A culpa é do desvio combinado. Ele pesa cada variância pelo tamanho do grupo, e os 20 anéis bem comportados do composto atual escondem a dispersão alta dos 8 anéis novos.

O teste F de variâncias, que a planilha mostra como informação, dá razão de 8,65 com p-valor de 0,0002. As dispersões são diferentes, e a versão de variâncias iguais não vale aqui. Mesmo quando o F não acusa nada, vale usar Welch como padrão. Ele perde muito pouco quando as variâncias são iguais e protege quando não são. O manual de estatística do NIST traz a fórmula de Welch-Satterthwaite para os graus de liberdade e registra que ela é robusta para tamanhos e variâncias diferentes.

A decisão de engenharia sai do intervalo, que vai de −0,81 a 4,58 pontos. O fornecedor novo pode ser igual ao atual ou estar até 4,6 pontos mais macio. Com especificação de 65 a 75 Shore A, essa faixa ainda não serve para homologar. O caminho é pedir mais peças, e o próximo passo é dimensionar quantas, no guia de tamanho de amostra. A pergunta “a máquina nova ganha da antiga?”, com amostras do mesmo tamanho, está resolvida no artigo de teste de hipóteses na qualidade.

Teste t pareado: a diferença de cada unidade

Um centro de distribuição mudou o endereçamento do estoque pela curva ABC, trazendo os itens de maior giro para perto da expedição. Para medir o efeito, o coordenador cronometrou os mesmos 10 separadores montando um pedido-padrão, uma vez na semana anterior e outra duas semanas depois da mudança.

Cada separador aparece nas duas medições, e isso define o teste. Na página 356, o livro explica que o pareado “determina se a média de duas amostras pareadas (dependentes) diferem significativamente” e pede que “os dois conjuntos de observações estejam relacionados à mesma unidade amostral e sejam provenientes de uma distribuição Normal”. A conta passa a ser feita sobre a diferença de cada pessoa.

A média caiu de 14,0 para 12,9 minutos. As diferenças individuais têm média de 1,09 minuto e desvio de apenas 0,90. Com 10 pares, o erro-padrão é 0,285, o t vale 3,83 com 9 gl e o p-valor bicaudal é 0,004. O intervalo de 95% diz que o ganho real fica entre 0,45 e 1,73 minuto por pedido.

Se o coordenador tivesse tratado as duas colunas como grupos independentes, o t cairia para 0,99, com p de 0,33. A diferença entre separadores rápidos e lentos, que vai de 10 a 18 minutos, entraria inteira no ruído. O artigo de qualidade mostra esse efeito com mais detalhe na seção por que parear muda tudo.

Duas cautelas são próprias do antes e depois. A primeira: o que precisa ser normal são as 10 diferenças, e não cada coluna. No exemplo, o Shapiro-Wilk das diferenças dá p de 0,57, sem sinal contra a normalidade. A segunda: entre as duas medições também passou tempo, e o separador pode ter melhorado só por prática. Medir os dois momentos com o mesmo pedido-padrão e a mesma equipe reduz esse risco, mas não o elimina.

Como ler a tabela t de Student

A tabela t cruza os graus de liberdade, nas linhas, com a área da cauda, nas colunas. O valor na célula é o t crítico. Se o seu t calculado, em valor absoluto, passar dele, a hipótese nula é rejeitada naquele nível.

O cuidado está no topo da coluna. Muitas tabelas impressas, como a do anexo A3 do livro, nas páginas 489 e 490, trazem a área de uma cauda só. Nelas, o teste bicaudal com α de 0,05 se lê na coluna 0,025. Com 10 gl, essa coluna dá 2,228, o mesmo valor bicaudal da planilha.

1. Calcule os graus de liberdade do seu teste.
2. Decida se o teste é unicaudal ou bicaudal e qual é o α.
3. Na tabela de uma cauda, use α no unicaudal e α/2 no bicaudal.
4. Ache a linha do gl. Se ela não existir, use a linha menor mais próxima, que é a mais conservadora.
5. Compare o valor da célula com o seu t em valor absoluto.

No pareado dos separadores, com 9 gl e bicaudal a 5%, a tabela dá 2,262. O t de 3,83 passa com folga. A tabela da planilha foi gerada pela função INV.T.BC, e por isso aceita qualquer gl que você precisar. O p-valor exato vem da planilha ou do software, e a tabela fica para conferir a ordem de grandeza.

Tamanho do efeito e intervalo de confiança da diferença

O p-valor responde se a diferença é difícil de explicar pelo acaso. Ele não diz se ela é grande. Para isso o teste t precisa de duas companhias: o intervalo de confiança da diferença, em unidade de negócio, e o tamanho do efeito padronizado, o d de Cohen.

O d de Cohen divide a diferença pelo desvio-padrão: o da amostra na versão de uma amostra, o combinado nas duas amostras e o das diferenças no pareado. A referência usual de Jacob Cohen é 0,2 para efeito pequeno, 0,5 para médio e 0,8 para grande.

A segunda linha é a que mais ensina. O d perto de 1 diz que, se a diferença for real, ela é grande. O p alto diz que 8 anéis não bastam para provar. As duas informações juntas mandam aumentar a amostra, e nunca arquivar a hipótese.

O livro chega ao mesmo ponto pelo poder do teste. No exemplo de duas amostras do capítulo 28, com 36 medições por grupo, o poder para detectar uma diferença de 0,05 era de cerca de 51%, e seriam precisas 71 por grupo para chegar a 80%. Na página 354 está a recomendação: “é interessante ter a preocupação de aumentar o tamanho amostral para aumentar o poder do teste, principalmente quando o p-valor se aproxima do valor de corte 0,05.”

Pressupostos: normalidade, independência e valores extremos

O teste t confia em três coisas, e a planilha não confere nenhuma delas sozinha.

• Normalidade. Com menos de 30 dados por grupo, confira um histograma e um teste de normalidade. Acima disso, o teorema central do limite protege a média de desvios moderados. No pareado, quem precisa ser normal é a coluna de diferenças.
• Independência. Cada dado vem de uma unidade diferente, e um não influencia o outro. Peças consecutivas da mesma bobina, ou o mesmo chamado contado duas vezes, violam isso e deixam o p-valor pequeno demais. Uma carta de controle dos dados na ordem de coleta mostra se há tendência ou ciclo.
• Valores extremos. A média e o desvio são sensíveis a um único ponto distante. Um boxplot mostra o ponto na hora. Investigue a causa antes de decidir, e rode o teste com e sem ele para ver se a conclusão muda.

Existe um quarto pressuposto, anterior aos três: o instrumento mede o que deveria. Se a régua oscila mais que o processo, o teste t compara ruído de medição. O estudo Gage R&R resolve essa dúvida antes de qualquer comparação de médias.

Quando não usar o teste t

• Três ou mais grupos. Comparar turnos A, B e C com três testes t sobe o alarme falso para perto de 14%. O caminho é a ANOVA, que compara todos de uma vez.
• Dado fortemente assimétrico com amostra pequena. Tempo de ciclo com cauda longa e 10 medições pede um teste não paramétrico, como Mann-Whitney no lugar das duas amostras e Wilcoxon no lugar do pareado.
• Dado de contagem ou de passa e não passa. Proporção de defeituosos se compara com teste de proporções ou qui-quadrado.
• A pergunta é sobre dispersão. Se o projeto quer reduzir variação, o teste é de variâncias, e o teste t não enxerga isso.
• Relação entre duas variáveis contínuas. Aí entram correlação e regressão.

O guia de ferramentas estatísticas organiza essas saídas por pergunta do projeto, com planilha própria para ANOVA, regressão e qui-quadrado.

Como fazer o teste t de Student no Excel e no Minitab

O Excel tem três caminhos, do mais rápido ao mais completo.

1. A função TESTE.T. A sintaxe é =TESTE.T(matriz1; matriz2; caudas; tipo), ou T.TEST no Excel em inglês. Caudas vale 1 para unicaudal e 2 para bicaudal. Tipo vale 1 para pareado, 2 para duas amostras com variâncias iguais e 3 para Welch. Ela devolve só o p-valor, sem t, sem gl e sem intervalo.

Não existe tipo para uma amostra. O truque é rodar o pareado contra uma coluna preenchida com o valor de referência, como a planilha faz na conferência. A diferença de cada dado para μ0 vira o par, e a conta é idêntica à do teste de uma amostra.

2. As funções da distribuição t. Para ver a conta inteira, calcule t por fórmula. No exemplo dos chamados, fica =(MÉDIA(B2:B19)−45)/(DESVPAD.A(B2:B19)/RAIZ(CONT.NÚM(B2:B19))). Depois, o p-valor unicaudal à direita sai de =DIST.T.CD(t; 17), o bicaudal de =DIST.T.BC(ABS(t); 17) e o valor crítico bicaudal de =INV.T.BC(0,05; 17). Em inglês, as funções são T.DIST.RT, T.DIST.2T e T.INV.2T.

3. As Ferramentas de Análise. Ative em Arquivo, Opções, Suplementos, Gerenciar Suplementos do Excel, Ir, e marque Ferramentas de Análise. Em Dados, Análise de Dados, aparecem três testes t: duas amostras em par para médias, duas amostras presumindo variâncias equivalentes e duas amostras presumindo variâncias diferentes. A saída traz médias, variâncias, t, os p-valores uni e bicaudal e os t críticos.

A planilha deste artigo junta as três coisas. Para usar:

1. Baixe pela imagem de qualquer exemplo acima e abra a aba do seu teste: 1 amostra, 2 amostras ou Pareado.
2. Antes de olhar os dados, preencha α e H1. Na de duas amostras, escolha também Welch ou variâncias iguais.
3. Cole os dados nas células amarelas, de cima para baixo e sem linha em branco, até 100 por coluna.
4. Leia t, gl, p-valor, t crítico, intervalo da diferença, d de Cohen e a decisão escrita.
5. Confira a linha do TESTE.T. A diferença para o p da fórmula deve ficar perto de zero.

Conferi cada aba contra o Python, com as funções ttest_1samp, ttest_ind e ttest_rel do scipy.stats, nos três exemplos e em mais quatro conjuntos por tipo, com amostras de 5 a 100 e as três hipóteses alternativas. A maior diferença ficou abaixo da 12ª casa decimal. No Welch, o gl sai fracionário, e como a DIST.T.BC trunca o gl, o p-valor dessa coluna é calculado pela função BETA.DIST, que dá o valor exato.

No Minitab, o caminho que o livro usa nos três exemplos do capítulo 28 é Estat, Estatísticas Básicas, e então Teste t para 1 amostra, Teste t para 2 amostras ou Teste t pareado. Em Opções ficam o nível de confiança e a hipótese alternativa. No de duas amostras, a caixa “Assumir variâncias iguais” vem desmarcada, e desmarcada quer dizer Welch. O poder e o tamanho de amostra ficam em Estat, Poder e Tamanho Amostral.

Erros comuns no teste t

• Escolher a cauda depois do resultado. É a forma mais comum de transformar 0,059 em 0,029 sem nenhum dado novo.
• Usar variâncias iguais por hábito. Com grupos de tamanhos diferentes e dispersões diferentes, o exemplo da dureza mostrou p de 0,026 onde o correto era 0,145.
• Tratar dado pareado como independente. A variação entre unidades vai para o denominador e esconde o efeito.
• Parear o que não tem par. Duas listas de operadores diferentes, ordenadas lado a lado, não formam pares. O pareado exige a mesma unidade nas duas medições.
• Testar a normalidade da coluna errada. No pareado, conta a das diferenças.
• Ler “não rejeita” como “são iguais”. O fornecedor novo não foi provado igual. Faltou amostra.
• Reportar só o p-valor. Sem o intervalo e sem o d de Cohen, ninguém sabe se a diferença paga a ação.
• Rodar vários testes t em sequência. Com três ou mais grupos, o alfa se acumula.

Por onde começar

Pegue a pergunta de média que está parada no seu projeto e escreva H0 e H1 antes de abrir os dados. Decida o α e a cauda pelo custo de errar. Depois, escolha a aba pelo desenho da coleta, cole os dados e leia o resultado com o intervalo ao lado.

Dentro do método DMAIC, o teste t mora na fase Analisar, para confirmar ou derrubar causas, e volta na fase Controlar, para provar que o novo patamar é diferente do antigo. Ele faz parte da caixa de ferramentas do Green Belt desde o primeiro projeto de Lean Seis Sigma. O kit de ferramentas Lean Seis Sigma da Voitto traz o modelo A16 para registrar cada teste.

Gosset precisou de um ano de laboratório e de muita conta à mão para responder se uma diferença era real com poucos dados. Com a planilha aberta, a sua resposta cabe numa tarde, e é esse tipo de resposta rápida que dá gás para o projeto andar.