Teste de normalidade: qual usar, como ler o p-valor e o que fazer quando o dado não é normal
Anderson-Darling, Shapiro-Wilk e Kolmogorov-Smirnov na mesma base real, a leitura do gráfico de probabilidade normal, Box-Cox e as armadilhas, com uma planilha que calcula o teste no Excel.
Fui coordenador de operações da MRS Logística em Lafaiete por dois anos. Na ferrovia, quase nenhum número que importa tem a forma de sino. Atraso não fica abaixo de zero, tempo de reparo tem cauda longa e uma manhã ruim puxa a média para cima. Quem passa por um projeto de Lean Seis Sigma aprende cedo que o teste de normalidade vem antes de quase toda conta.
A pergunta chega assim. Tenho os dados do processo: posso calcular o Cpk, rodar um teste t, montar a carta de controle? A resposta depende da forma da distribuição. E a forma não se adivinha pelo histograma de 30 pontos, nem pelo costume da área.
Este guia mostra para que serve o teste e qual usar entre Anderson-Darling, Shapiro-Wilk e Kolmogorov-Smirnov. Explica como interpretar o p-valor junto com o gráfico. Também mostra o que fazer quando o dado não é normal e as armadilhas que fazem o teste mentir. No caminho, você baixa uma planilha que calcula o Anderson-Darling no Excel, com o gráfico e a transformação Box-Cox. Ela vem preenchida com uma base real do nosso curso Green Belt.
O que é teste de normalidade
Teste de normalidade é o teste de hipótese que verifica se uma amostra é compatível com a distribuição normal. A hipótese nula diz que os dados vêm de uma normal. Com p-valor abaixo de 0,05, você rejeita a normalidade. Acima disso, não há evidência contra ela, e as ferramentas que supõem normal podem seguir.
Repare na inversão. Na maioria dos testes, a gente quer rejeitar a hipótese nula para provar que algo mudou. Aqui o resultado desejado costuma ser o contrário: não rejeitar. Por isso o teste merece cuidado na leitura, e a seção sobre o p-valor mais adiante trata disso.
| Resultado | O que significa | O que fazer |
|---|---|---|
| p-valor ≥ 0,05 | Os dados são compatíveis com a normal | Seguir com capabilidade normal, teste t ou ANOVA, depois de olhar o gráfico |
| p-valor < 0,05 | Os dados se afastam da normal mais do que o acaso explica | Descobrir por quê, e só então transformar, trocar a distribuição ou usar teste não paramétrico |
O teste é uma das peças do teste de hipóteses, com a mesma lógica de hipótese nula, nível de significância e p-valor. A diferença é a pergunta: ele não compara grupos. Ele pergunta se a curva que você vai usar nas contas descreve bem os seus dados.
Por que a normalidade importa: capabilidade, teste t e carta de controle
Muitas ferramentas do Lean Seis Sigma foram construídas sobre a curva normal. Quando o dado não segue essa curva, algumas continuam funcionando quase iguais e outras passam a errar sem avisar. Vale saber qual é qual antes de gastar tempo com transformação.
| Ferramenta | Quanto depende da normal | O que dá errado sem ela |
|---|---|---|
| Capabilidade (Cp, Cpk, ppm) | Muito, porque o índice vira previsão de defeito pela cauda da curva | O ppm previsto erra para mais ou para menos, justo na cauda |
| Carta de controle I-AM | Bastante, porque cada ponto é um valor individual | Alarmes falsos de um lado da carta e alarmes perdidos do outro |
| Teste t e ANOVA | Pouco com 30 ou mais dados por grupo | Com amostra pequena e dado muito assimétrico, o p-valor perde confiança |
| Carta X-barra com subgrupos | Pouco, porque a média do subgrupo tende à normal | Quase nada, desde que o processo esteja estável |
A primeira linha é a que mais pesa no projeto. O índice de capabilidade do processo transforma a distância até a especificação em porcentagem fora dela. Essa conversão usa a área da cauda da normal. Num tempo de ciclo com cauda longa à direita, a normal subestima os atrasos. O artigo de capabilidade traz um caso farmacêutico com o erro no sentido contrário. A curva normal previu 68,6% de lotes atrasados, e o registro mostrava 42%.
A terceira linha explica por que muita gente se assusta à toa. Pelo teorema central do limite, a média de 30 ou mais dados se comporta como normal mesmo que cada dado não se comporte. O guia de teste de hipóteses na qualidade discute essa tolerância com mais detalhe. Para comparar médias com amostras grandes, a normalidade quase nunca decide sozinha.
Na carta de controle, a pergunta da normalidade vem junto com a da estabilidade. Um processo com causa especial não tem uma distribuição, tem várias misturadas. Por isso o controle estatístico de processo vem primeiro: carta estável, depois teste de normalidade, depois capabilidade.
Anderson-Darling, Shapiro-Wilk ou Kolmogorov-Smirnov: qual usar
Os três respondem a mesma pergunta com réguas diferentes. Todos comparam a distribuição acumulada dos seus dados com a da normal de mesma média e mesmo desvio. Cada um mede a distância de um jeito, e isso muda onde ele enxerga melhor.
| Teste | Ponto forte | Quando usar |
|---|---|---|
| Anderson-Darling | Dá peso extra às caudas | Padrão do Minitab e a melhor escolha antes de capabilidade, em que o defeito mora na cauda |
| Shapiro-Wilk | Muito poder em amostras pequenas e médias | Amostras de até algumas centenas de dados, em software estatístico, R ou Python |
| Kolmogorov-Smirnov | Simples de entender: a maior distância entre as duas curvas | Comparar com uma distribuição de parâmetros conhecidos; com média e desvio da amostra, só na versão de Lilliefors |
O manual de estatística do NIST, o instituto de padrões dos Estados Unidos, define o Anderson-Darling como uma modificação do Kolmogorov-Smirnov. A diferença é o peso maior nas caudas. Para quem vai calcular Cpk, esse é o detalhe que importa. Um desvio pequeno no centro pouco muda a decisão, e um desvio na cauda muda o ppm.
No Minitab, as opções são Anderson-Darling, Ryan-Joiner e Kolmogorov-Smirnov. O Ryan-Joiner é parente próximo do Shapiro-Wilk, porque mede a correlação entre os dados ordenados e os quantis da normal. Se o seu relatório pede Shapiro-Wilk e você só tem Minitab, o Ryan-Joiner cumpre o mesmo papel.
Os três testes na mesma base de dados
Para ver a diferença na prática, rodei os três na base de exercício do curso Green Belt da Voitto. São 50 registros de tempo até a falha e 50 medições de produtividade de operador. A tabela traz também o tempo até a falha depois da transformação Box-Cox, que aparece mais adiante.
| Conjunto (n = 50) | Anderson-Darling | Shapiro-Wilk | Kolmogorov-Smirnov (Lilliefors) |
|---|---|---|---|
| Produtividade do operador | AD 0,227 · p 0,81 | p 0,77 | p 0,90 |
| Tempo até a falha | AD 1,987 · p < 0,005 | p < 0,001 | p 0,010 |
| Tempo até a falha em ln (Box-Cox) | AD 0,423 · p 0,31 | p 0,13 | p 0,48 |
Os três concordam nas três linhas, o que é o caso comum. A diferença aparece na força da evidência. No tempo até a falha, o Anderson-Darling e o Shapiro-Wilk ficam abaixo de 0,001 e o Kolmogorov-Smirnov fica em 0,010. Com uma amostra menor ou um desvio mais discreto, é o KS que deixa passar primeiro.
Como ler o p-valor e o gráfico de probabilidade normal
No Guia Prático Lean Seis Sigma, o assunto aparece no capítulo 24, “Estatística e Probabilidade”, na seção da distribuição normal. Na página 260 eu escrevi assim. “Dados não Normais são comuns em alguns cenários, por exemplo, na manutenção, no mercado financeiro ou em testes de confiabilidade. Sempre que os dados não forem Normais, é importante avaliar e escolher as ferramentas estatísticas apropriadas.”
A regra de decisão do livro é a do mercado: p-valor de 0,05 para cima, segue como normal; abaixo, não. Ela funciona bem como decisão. Só vale lembrar o que o número diz de fato. Um p-valor alto não prova que os dados são normais. Ele diz que, com essa amostra, não deu para ver diferença.
Com 15 dados, quase tudo passa no teste. Com 5.000, quase nada passa. Por isso o p-valor sozinho decide pouco, e o gráfico de probabilidade normal entra como a outra metade da leitura.
Como ler o gráfico de probabilidade normal
O gráfico coloca cada dado, em ordem, contra o valor que ele teria se a amostra fosse perfeitamente normal. Se a normal serve, os pontos se alinham na reta. Se não serve, o desenho dos pontos conta o motivo. E o motivo vale mais que o p-valor, porque aponta a ação.
À esquerda, a produtividade segue a reta do começo ao fim, e o teste confirma com p de 0,81. No meio, o tempo até a falha faz uma curva. Os pontos de baixo ficam espremidos, e os de cima se afastam para a direita. É a assinatura da assimetria à direita, típica de tempo, de custo e de qualquer variável que não fica abaixo de zero.
À direita, a mesma produtividade foi arredondada para o meio ponto mais próximo. Os pontos viram colunas, e o teste rejeita a normalidade com AD de 4,60. O processo é o mesmo do primeiro gráfico. O que mudou foi a régua de medição, e esse padrão volta na seção de armadilhas.
Há ainda dois desenhos que vale reconhecer. Pontos que formam dois trechos retos com inclinações diferentes indicam mistura de populações, como dois turnos ou duas máquinas. E um ou dois pontos isolados no fim da reta indicam valor atípico, que pede investigação antes de qualquer transformação.
Exemplo resolvido: tempo até a falha e produtividade
A base veio do material de exercícios do curso Green Belt da Voitto, exportada do Minitab. A gente usa as duas colunas em sala justamente porque elas contam histórias opostas. A produtividade do operador tem média de 4,55 e desvio de 0,32. O tempo até a falha tem média de 4,75, desvio de 3,46 e vai de 1,10 a 14,24.
Só esse resumo já levanta suspeita no tempo até a falha. O desvio é quase do tamanho da média. O máximo está a quase três desvios acima dela, e o mínimo fica a pouco mais de um desvio abaixo. Uma normal com esses números teria 8,5% dos valores abaixo de zero, o que é impossível para um tempo.
A aba Exemplo preenchido mostra a conta inteira. O A² de Anderson-Darling dá 1,987, o mesmo número que o Minitab mostra como AD. Com a correção para amostra pequena, vira 2,019. Pela fórmula da faixa de 0,6 a 13, o p-valor fica em 0,00004, que o Minitab exibe como menor que 0,005. A decisão é rejeitar a normalidade, e o gráfico mostra a curva que explica o porquê.
Na aba Exemplo normal, a produtividade fecha com A² de 0,227, p-valor de 0,81 e pontos colados na reta. Para esse dado, o caminho segue com capabilidade normal, carta I-AM e teste t sem nenhum ajuste. Um clique na imagem acima abre o exemplo completo, com o botão para baixar a planilha.
O que a planilha calcula
O cálculo segue a definição do Anderson-Darling, com as fórmulas abertas nas colunas auxiliares. Primeiro os dados são ordenados e padronizados pela média e pelo desvio da própria amostra. Depois entram na soma abaixo, em que F é a normal acumulada.
| Etapa | Fórmula |
|---|---|
| Estatística | A² = -n - (1/n) · Σ (2i - 1) · [ln F(zᵢ) + ln(1 - F(zₙ₊₁₋ᵢ))] |
| Correção para amostra pequena | A²* = A² · (1 + 0,75/n + 2,25/n²) |
| p-valor com A²* ≥ 0,6 | p = exp(1,2937 - 5,709·A²* + 0,0186·A²*²) |
| p-valor com 0,34 ≤ A²* < 0,6 | p = exp(0,9177 - 4,279·A²* - 1,38·A²*²) |
| p-valor com 0,2 ≤ A²* < 0,34 | p = 1 - exp(-8,318 + 42,796·A²* - 59,938·A²*²) |
| p-valor com A²* < 0,2 | p = 1 - exp(-13,436 + 101,14·A²* - 223,73·A²*²) |
As fórmulas do p-valor por faixa são as de D'Agostino e Stephens, as mesmas usadas pela biblioteca statsmodels do Python. Conferi a planilha contra o statsmodels e o SciPy em seis conjuntos de dados, incluindo os dois do exemplo. A diferença ficou abaixo da décima casa decimal em todos.
O que fazer quando os dados não são normais
O capítulo 25 do livro, “Capabilidade e Performance de Processos”, trata isso numa seção própria. Na página 283, a seção abre assim. “Uma dificuldade encontrada em projetos Seis Sigma surge quando os dados de saída do processo não são normais, o que impactará o método de cálculo da capabilidade do processo.”
Antes de qualquer técnica, faça a pergunta que economiza semanas: a não normalidade é natural da característica ou é sintoma? Tempo, rugosidade e contagem de defeitos são assimétricos por natureza. Já duas corcovas, degraus e pontos soltos costumam ser sintoma de mistura, de medição grossa ou de causa especial. Sintoma se trata na origem. Só a assimetria natural pede uma das saídas abaixo.
Transformação Box-Cox
A Box-Cox eleva cada dado a uma potência λ e procura o λ que deixa a curva mais parecida com a normal. Com λ igual a 0, ela vira o logaritmo. Com 0,5, a raiz quadrada. Com -1, o inverso. A aba Box-Cox da planilha testa λ de -2 a 2, em passos de 0,1, e escolhe o de maior log-verossimilhança.
No tempo até a falha, o λ ótimo deu 0, e a transformação virou ln(x). Os dados transformados passaram no teste com A² de 0,423 e p-valor de 0,31, e os pontos voltaram para a reta. Na prática, isso diz que o tempo até a falha dessa base se comporta como uma lognormal.
Para usar o resultado na capabilidade, transforme também os limites de especificação com o mesmo λ. Um limite superior de 12, por exemplo, vira ln(12) na escala nova. A Box-Cox exige valores maiores que zero, e a planilha avisa quando encontra zero ou negativo.
Quando a Box-Cox não resolve
Nem sempre a transformação acerta. O exemplo prático 2 do capítulo 25 usa o percentual de entregas fora do prazo de um varejista. Ali, os dados transformados continuaram reprovados, com AD de 1,542 e p-valor menor que 0,005. Na página 286 eu concluo: “Com a análise do p-valor, é possível notar que o Box-Cox não foi capaz de normalizar os dados.”
O passo seguinte do livro é a identificação de distribuição. O Minitab ajusta várias curvas aos mesmos dados e a escolhida é a de menor Anderson-Darling. Nas entregas fora do prazo, venceu a Weibull, com 1,777, à frente da exponencial com 1,908 e da lognormal com 2,634. A capabilidade passa então a ser calculada pelos percentis da Weibull.
A terceira saída é a transformação de Johnson, que o Minitab oferece no menu de ferramentas da qualidade. Ela escolhe entre três famílias de curvas e costuma normalizar dados que a Box-Cox não normaliza. O preço é a interpretação: a escala nova raramente tem um sentido físico que se explique em reunião.
Testes não paramétricos
Quando a pergunta é comparar grupos e o dado é assimétrico com amostra pequena, a saída mais limpa é trocar de teste. O Mann-Whitney substitui o teste t de duas amostras, e o Kruskal-Wallis substitui a ANOVA. Eles comparam medianas e postos, sem supor curva nenhuma. O mapa das ferramentas estatísticas traz a tabela de equivalência completa entre os testes com e sem normalidade.
Armadilhas: quando o teste engana
O teste é honesto com os números que recebe. O problema está em entregar a ele números que já carregam outro defeito. Estas quatro situações respondem pela maior parte das conclusões erradas que eu vejo em projeto.
Amostra grande rejeita quase tudo
O poder do teste cresce com o tamanho da amostra, e nenhum processo real é exatamente normal. Fiz uma simulação com uma mesma população levemente assimétrica, com assimetria teórica de 0,32. Com 30 e com 100 dados, o p-valor deu 0,33 e 0,66. Com 1.000, caiu para 0,006. Com 5.000, ficou abaixo de 0,001.
A população não mudou de uma linha para a outra. O que mudou foi a lente. Com milhares de registros de sistema, decida pelo gráfico e pela pergunta prática. Esse desvio muda o ppm previsto ou a conclusão do teste? Se não muda, siga em frente. E, quando der para planejar a coleta, o artigo sobre tamanho de amostra mostra como escolher o n pela decisão que você precisa tomar.
Dados arredondados viram degraus
A produtividade do exemplo, com todas as casas decimais, passa com folga. Arredondada para uma casa decimal, ainda passa, com p de 0,43 e 15 valores diferentes. Arredondada para o meio ponto, sobram só 4 valores diferentes, o AD sobe para 4,60 e o teste rejeita. A causa está na régua, e o processo segue igual.
Quando o gráfico mostra colunas, olhe a resolução do instrumento antes de qualquer transformação. A análise do sistema de medição é o lugar para isso. Uma regra prática comum é que a resolução caiba pelo menos dez vezes na variação do processo.
Mistura de turnos, máquinas ou lotes
Dois turnos com médias diferentes, cada um normal, somados dão uma curva com duas corcovas que reprova no teste. Transformar esse dado esconde justamente a informação mais útil do projeto. O certo é separar os grupos com a estratificação e testar cada um, olhando também o histograma por grupo.
Processo instável e o dado errado no teste
Uma série com causa especial não tem uma distribuição para testar. Por isso a carta de controle vem antes do teste. E, em ANOVA e regressão, o pressuposto vale para os resíduos do modelo, e não para a coluna de dados inteira. Testar a coluna bruta de três grupos com médias diferentes reprova a normalidade sem nenhum problema real.
Como fazer o teste de normalidade no Excel
O Excel não tem teste de normalidade nativo. A ferramenta Análise de Dados não traz Anderson-Darling nem Shapiro-Wilk. Tutoriais que mostram uma função com esse nome estão errados, porque ela não existe. Sobram dois caminhos: um suplemento pago ou montar a conta em fórmula, que é o que a planilha faz.
- Baixe a planilha pelo exemplo da seção anterior e abra a aba Teste.
- Cole de 8 a 200 valores na coluna A, a partir da linha 6. O ideal é ter 30 ou mais.
- Leia o bloco Resultado: n, média, desvio, A², A² corrigido, p-valor e decisão.
- Confira o gráfico de probabilidade normal ao lado. Curva, degrau ou dois trechos pedem investigação.
- Se rejeitar e todos os dados forem positivos, abra a aba Box-Cox. Ela lê os mesmos dados, escolhe o λ e refaz o teste.
A planilha não tem macros e funciona no Excel, no LibreOffice e no Google Planilhas. O nível de significância fica numa célula amarela, caso o seu projeto use 0,10 ou 0,01. Depois de passar no teste, o passo natural é a planilha de capabilidade, com a mesma lógica de colar dados e ler o resultado.
Como fazer o teste de normalidade no Minitab
No Minitab, o caminho que o livro descreve na página 285 é Estat, Estatísticas Básicas, Teste de Normalidade. Escolha a coluna, deixe marcado o Anderson-Darling e clique em OK. A saída traz o gráfico de probabilidade com a média, o desvio, o N, o AD e o p-valor no canto.
Para a Box-Cox, o caminho é Estat, Cartas de Controle, Transformação Box-Cox. Use 1 no tamanho do subgrupo quando os dados não estiverem em subgrupos. Peça para guardar os dados transformados numa coluna nova. Depois, rode o teste de normalidade de novo sobre essa coluna.
Na análise de capabilidade, dá para pular a etapa manual. Em Análise de Capacidade Normal, o botão Transformar aplica a Box-Cox direto no relatório. Se ela não resolver, a identificação de distribuição fica em Confiabilidade e Sobrevivência. O livro detalha esses passos nos exemplos práticos do capítulo 25. E a planilha do blog chega ao mesmo AD e ao mesmo p-valor que o Minitab mostra.
Por onde começar
Pegue o último conjunto de dados do seu projeto e cole na planilha antes de calcular qualquer índice. Se passar, siga com confiança. Se reprovar, leia o gráfico e procure mistura, régua grossa ou causa especial. Só depois escolha entre transformar, trocar de distribuição ou trocar de teste.
Esse cuidado aparece na fase Medir do método DMAIC e volta na fase Analisar, sempre que um teste supõe curva normal. Quem está no primeiro projeto encontra o papel da faixa verde nessas análises no guia sobre o que é Green Belt. Para revisar a curva em si, o artigo sobre distribuição normal explica o escore z que a planilha usa.
Os passos seguintes também têm modelo pronto. O kit de ferramentas Lean Seis Sigma da Voitto traz o teste de hipóteses e a análise de capabilidade. Na MRS, eu aprendi que número sem forma conhecida vira opinião com casas decimais. Esse teste é o jeito mais barato de descobrir a curva do seu processo antes de apostar uma decisão nela.
