Teste qui-quadrado: fórmula, independência, aderência e Excel

Seis meses de inspeção de recebimento renderam 224 não conformidades, divididas entre três fornecedores e quatro tipos de problema. O comprador quer saber se cada fornecedor erra de um jeito próprio ou se todos erram igual e só mudam de volume. Para cruzar duas categorias e separar padrão de acaso, a conta que responde é o teste qui-quadrado.

O mapa de qual teste usar para cada tipo de dado já está no guia de teste de hipóteses, junto com H0, H1 e o p-valor. O caso turno × tipo de defeito está resolvido em existe associação entre turno e tipo de defeito. Aqui o assunto é o teste por dentro: a fórmula, as frequências esperadas, os graus de liberdade, os pressupostos e o que fazer quando eles falham.

No caminho, você baixa uma planilha que a gente montou sem macros. Ela faz o qui-quadrado de independência em tabela de até 6 × 6 e o de aderência com até 12 categorias. Também calcula o exato de Fisher no 2 × 2, avisa quando o esperado fica baixo, pinta os resíduos e traz a tabela χ² e cinco exemplos preenchidos.

O que é o teste qui-quadrado

O teste qui-quadrado compara contagens observadas com as contagens que seriam esperadas se uma hipótese fosse verdadeira. Ele soma, célula por célula, o quadrado da diferença dividido pelo esperado. Serve para dois usos: saber se duas variáveis de categoria estão associadas, numa tabela de contingência, e saber se uma distribuição segue uma proporção esperada.

O ponto de partida é sempre uma contagem. Quantas peças caíram em cada categoria, quantas reclamações vieram por cada canal, quantos defeitos apareceram em cada dia. Média, desvio-padrão e porcentagem ficam de fora da conta, e essa é a primeira diferença para o teste t de Student, que trabalha com dado medido.

O teste tem seção própria no Guia Prático Lean Seis Sigma, a 28.4 do capítulo 28, “Testes e Ferramenta para Análise de Dados”. Ela abre assim na página 374: “O Teste do Qui-quadrado é utilizado quando o objetivo é saber se existem associações entre duas ou mais variáveis em um estudo”. Logo depois, eu escrevo as duas hipóteses: H0, não há associação entre as variáveis, e H1, há associação.

Karl Pearson e a origem do qui-quadrado

O teste é de Karl Pearson, matemático inglês e um dos fundadores da estatística moderna. A biografia do arquivo MacTutor da Universidade de St Andrews data o teste de significância qui-quadrado de 1900, dentro da série de artigos que ele escreveu sobre a teoria da evolução. Por isso o nome completo é qui-quadrado de Pearson.

O MacTutor registra também a motivação: Pearson queria tirar a distribuição normal do lugar central que ela ocupava. Até ali, quase toda conta de significância supunha um dado em forma de sino. O teste de Pearson aceita qualquer coisa que possa ser contada em classes, e essa liberdade explica por que ele chegou intacto ao chão de fábrica.

Foi no laboratório de Pearson, em Londres, que William Gosset passou um ano antes de publicar o teste t, em 1908. Os dois testes mais usados num projeto de melhoria saíram da mesma sala, com oito anos de diferença.

Os dois usos: independência e aderência

A mesma fórmula atende a duas perguntas. No qui-quadrado de independência, você tem duas variáveis de categoria cruzadas numa tabela e quer saber se uma depende da outra. No de aderência, também chamado de bondade de ajuste, você tem uma variável só e quer saber se as contagens seguem uma proporção definida antes da coleta.

O modelo A16 do kit da Voitto, ao lado, é a folha onde cada causa testada ganha H0, H1, teste escolhido, tamanho da amostra e p-valor. Esse teste entra nele sempre que o X e o Y são categorias.

A diferença prática está na origem do esperado. Na independência, ele sai dos totais da própria tabela. Na aderência, ele sai de fora, de uma meta, de um volume ou de um modelo. Essa escolha pesa tanto que a seção de aderência mostra a mesma contagem mudando de conclusão só por causa dela.

A fórmula do qui-quadrado e as frequências esperadas

A estatística é χ² = Σ (O − E)² / E. O é a contagem observada em cada célula e E é a contagem esperada se H0 fosse verdadeira. Elevar ao quadrado impede que diferenças para cima e para baixo se anulem. Dividir pelo esperado coloca cada diferença na escala da célula: errar por 5 numa célula que esperava 7 pesa muito mais do que errar por 5 numa que esperava 70.

Na independência, o esperado de cada célula é o total da linha vezes o total da coluna, dividido pelo total geral. A lógica é direta. Se o tipo de problema não dependesse do fornecedor, cada fornecedor teria a mesma mistura de tipos que a fábrica tem no total.

No recebimento da abertura, o fornecedor C teve 58 das 224 não conformidades, e a fábrica teve 28 problemas de laudo no total. O esperado para C em laudo é 58 × 28 ÷ 224 = 7,25. O observado foi 16. A contribuição dessa célula é (16 − 7,25)² ÷ 7,25 = 10,56, quase um terço do χ² inteiro.

Somando as 12 contribuições, o χ² dá 33,01. Sozinho, esse número não diz nada. Ele precisa ser comparado com a distribuição qui-quadrado do tamanho certo, e quem define o tamanho são os graus de liberdade.

Graus de liberdade, p-valor e a tabela χ²

Numa tabela com os totais fixos, nem todas as células são livres. Numa tabela de 3 linhas e 4 colunas, depois de preencher 2 linhas e 3 colunas, o resto sai por subtração. Os graus de liberdade são (3 − 1) × (4 − 1) = 6. Na aderência, com k categorias, são k − 1, menos um grau para cada parâmetro estimado dos próprios dados.

A curva qui-quadrado começa em zero, porque a estatística é uma soma de quadrados, e tem cauda longa à direita. O teste olha só essa cauda. O p-valor é a área à direita do χ² calculado, ou seja, a chance de ver uma diferença tão grande ou maior se H0 fosse verdadeira. No exemplo, χ² de 33,01 com 6 gl dá p de 0,00001.

A tabela χ² faz o caminho inverso: dá o valor crítico que deixa uma área α à direita. Ache a linha do seu gl e a coluna do seu α. Se o χ² calculado passar do valor da célula, H0 cai. Com 6 gl e α de 0,05, o crítico é 12,59, e o 33,01 do recebimento passa com folga.

O anexo A2 do livro, na página 488, traz a mesma tabela com o cabeçalho pela área à direita. Na linha de 6 gl, a coluna 0,050 mostra 12,59. A tabela da planilha foi gerada pela função INV.QUIQUA.CD e serve para qualquer gl, inclusive os que não cabem no papel.

1. Calcule os graus de liberdade pela forma da tabela.
2. Escolha o α antes de olhar os dados.
3. Leia o crítico na linha do gl e na coluna do α.
4. Compare com o χ² calculado. Acima do crítico, rejeita H0.

Exemplo resolvido: fornecedor × tipo de não conformidade

Volte ao recebimento da abertura. É uma metalúrgica que compra a mesma família de peças usinadas de três fornecedores. A engenheira de qualidade de fornecedores juntou seis meses de registros da inspeção de entrada. O comprador defendia cortar o fornecedor B, que mais aparecia no relatório. Os dados são fictícios, montados para este artigo, e estão marcados assim na planilha.

A discussão travava num ponto. Fornecedor A e B têm quase o mesmo número de ocorrências, 84 e 82, porque entregam volumes parecidos. Contar ocorrência por fornecedor não mostra nada além disso. A pergunta útil era outra: cada um falha do mesmo jeito? Se o perfil de falha muda, a ação de desenvolvimento muda junto.

1. Hipóteses: H0 diz que o tipo de não conformidade independe do fornecedor. H1 diz que existe associação. α de 0,05.
2. Esperados: 12 células, a menor delas com 7,25. Nenhuma abaixo de 5, então o pressuposto está atendido.
3. Estatística: soma das contribuições, χ² = 33,01.
4. Graus de liberdade: (3 − 1) × (4 − 1) = 6. Crítico a 5%: 12,59.
5. p-valor: 0,00001, conferido pelo TESTE.QUIQUA do Excel na própria aba.

A conclusão em linguagem de negócio: o tipo de problema depende do fornecedor. Isso derrubou a proposta de corte em bloco, porque o B não era o pior em tudo. Ele tinha um problema específico, e o C tinha outro. A próxima seção mostra como a planilha aponta quais.

Como interpretar o qui-quadrado além do p-valor

O p-valor pequeno diz que existe associação em algum lugar da tabela. Ele não diz onde, nem se ela é forte. Para isso o teste precisa de duas companhias: os resíduos padronizados, célula por célula, e o V de Cramér, para a tabela inteira.

Resíduo padronizado. É (O − E) / √E, a raiz com sinal da contribuição de cada célula. Valores acima de 2 indicam que a célula recebeu bem mais do que o esperado. Abaixo de −2, bem menos. A planilha pinta de vermelho e de azul os dois casos.

Duas células carregam a associação. O C tem problema de laudo e certificado: 27,6% das ocorrências dele, contra 8,3% do A e 6,1% do B. O B tem problema de embalagem e identificação: 41,5% das ocorrências dele, contra 15,5% dos outros dois. As duas ações são diferentes. Para o C, auditoria do laboratório e do fluxo de certificado. Para o B, padrão de embalagem e etiqueta, que costuma se resolver com uma visita e uma foto.

Daqui, o caminho natural é um diagrama de Pareto por fornecedor e, depois, o diagrama de Ishikawa só nas duas células que importam. O teste fez o que a estratificação sozinha não faz: provou que o cruzamento não era acaso antes de alguém gastar uma viagem.

V de Cramér. É a raiz de χ² dividido por n vezes o menor entre linhas − 1 e colunas − 1. Vai de 0, sem associação, a 1, associação perfeita, e não cresce com o tamanho da amostra. No recebimento, V = √(33,01 ÷ (224 × 2)) = 0,27.

A referência usual vem de Jacob Cohen, com 0,1, 0,3 e 0,5 para efeito pequeno, médio e grande quando a tabela tem uma dimensão com 2 categorias. Em tabelas maiores, os cortes caem: divida cada um pela raiz do menor entre linhas − 1 e colunas − 1. Com 2 no denominador, eles ficam em 0,07, 0,21 e 0,35, e o 0,27 do exemplo é um efeito médio. A planilha faz esse ajuste sozinha.

O exemplo do livro mostra outro lado da leitura. Na página 376, um engenheiro de laboratório registra por 15 dias se houve reprocessamento de exames em quatro linhas de produção. O resultado da Tabela 28.19 é χ² de Pearson de 15,286 com 3 gl e p de 0,002. As linhas amarela e vermelha reprocessam acima do esperado de 6,75, e a azul e a verde ficam abaixo.

Refeito na planilha, esse caso dá V de 0,50, um efeito grande, e nenhum resíduo passa de 2: o maior é 1,64. Com só 60 registros, a associação aparece no conjunto e não numa célula isolada. É um aviso útil. Resíduo abaixo de 2 não quer dizer que a célula não importa, principalmente em tabela pequena.

Qui-quadrado de aderência: exemplo dos defeitos por dia da semana

A célula de solda robotizada de uma fábrica de estruturas metálicas registrou 220 defeitos de solda em um trimestre: 58 na segunda, 41 na terça, 37 na quarta, 40 na quinta e 44 na sexta. O supervisor suspeitava da segunda-feira, que começa com a linha fria e com o primeiro ajuste depois da parada do fim de semana. Os números também são fictícios.

A tentação é testar contra partes iguais, 44 por dia. Só que a segunda roda menos horas, porque começa pela manutenção preventiva. A participação de cada dia no volume soldado foi de 18% na segunda, 21% de terça a quinta e 19% na sexta. Se o defeito não dependesse do dia, ele seguiria essa proporção. Essa é a H0.

O esperado da segunda é 220 × 0,18 = 39,6, e o observado foi 58. A contribuição dela é 8,55, de um χ² total de 11,91 com 4 gl. O p-valor é 0,018, abaixo de 0,05, e o resíduo da segunda vale 2,92. Os outros quatro dias ficam entre −1,35 e 0,34.

As mesmas 220 contagens dão duas conclusões. Com partes iguais, a segunda parece só um pouco acima. Com a proporção do volume, ela fica 46% acima do esperado. A hipótese de partes iguais escondia o problema, porque a segunda produz menos e erra mais.

O pilar de teste de hipóteses traz um caso de aderência de erros de separação por turno em que a proporção esperada foi declarada como premissa na folha. Ele está em quatro exemplos resolvidos. A regra é a mesma nos dois: a proporção esperada é escrita antes de abrir os dados, com a fonte ao lado.

A aderência serve também para testar uma distribuição, como a de Poisson para defeitos por peça. Nesse caso, a média usada para gerar o esperado sai dos próprios dados e custa um grau de liberdade a mais. A planilha tem um campo para isso. Para saber se um dado contínuo é normal, o caminho mais forte é outro, o teste de normalidade de Anderson-Darling.

Pressupostos do teste qui-quadrado

O teste de Pearson é uma aproximação. A estatística só segue a curva qui-quadrado quando as contagens são grandes o bastante, e a conta só vale se cada registro for independente dos outros. São três condições, e a planilha confere a primeira sozinha.

• Esperado suficiente. A regra prática mais citada, atribuída a William Cochran, pede esperado de pelo menos 5 em 80% das células e nenhum esperado abaixo de 1. A regra vale para o esperado. Uma célula com zero observado é aceitável se o esperado dela for alto.
• Observações independentes. Cada unidade cai em uma célula só e conta uma vez. A mesma peça registrada em duas categorias, ou o mesmo cliente contado em cada ligação, viola isso e deixa o p-valor pequeno demais.
• Contagens, não percentuais. O χ² cresce com o tamanho da amostra. Trocar contagens por porcentagens muda o n da conta e muda o resultado.

O Minitab usa critérios um pouco mais tolerantes, que variam com o número de categorias. Para variáveis com 2 ou 3 níveis, por exemplo, aceita todas as células com esperado de pelo menos 3. Os limites estão na página de suporte “Os resultados do teste qui-quadrado são inválidos?”. A mesma página registra que o software nem exibe o p-valor quando algum esperado fica abaixo de 1.

Existe uma condição anterior às três: a categoria precisa ser atribuída do mesmo jeito por todo mundo. Se dois inspetores chamam o mesmo defeito de nomes diferentes, a tabela mede o inspetor. A análise do sistema de medição por atributo resolve isso antes da coleta, e uma folha de verificação com as categorias fechadas evita a classificação livre.

Quando o esperado fica abaixo de 5: agrupar, Fisher e Yates

Uma distribuidora de material elétrico cruzou 168 reclamações do trimestre por canal de atendimento e por motivo. Telefone, WhatsApp, e-mail e portal nas linhas. Atraso na entrega, avaria, cobrança e troca de produto nas colunas. O caso é fictício. A planilha devolveu χ² de 22,94 com 9 gl e p de 0,006, junto com um alerta.

O alerta vem de duas colunas e duas linhas magras. Troca de produto teve só 6 reclamações, e o portal, 16. O esperado da célula portal × troca é 0,57, e 38% das células ficam abaixo de 5. Com esse desenho, o p de 0,006 não merece confiança.

1. Agrupar com sentido de processo. A equipe juntou cobrança e troca, que caem no mesmo time do pós-venda. Juntou também e-mail e portal, os dois canais escritos e sem atendimento ao vivo. A tabela virou 3 × 3, com menor esperado de 8,9 e nenhum alerta.

Agora a conclusão vale. O resíduo dos canais escritos em cobrança e troca é 3,09: quem escreve reclama mais de boleto e de troca. A ação foi colocar a segunda via de boleto e o status de troca no portal, em vez de reforçar o telefone. Agrupar tem preço, porque detalhe se perde. Por isso o agrupamento se decide pela lógica do processo, e nunca para fazer o p cair.

2. Teste exato de Fisher, na tabela 2 × 2. Quando não há o que agrupar, o caminho é o exato de Fisher. Ele calcula a probabilidade de cada tabela possível com as mesmas margens pela distribuição hipergeométrica, sem aproximação nenhuma. O Minitab oferece o teste só para tabela 2 × 2, e a planilha segue o mesmo limite.

Um fornecedor novo em homologação teve 4 lotes reprovados em 14 na inspeção de recebimento. O atual teve 1 em 26. O menor esperado é 1,75, abaixo do limite. Os três cálculos possíveis dão três respostas, e a tabela mostra por que a escolha importa.

3. Correção de Yates. É a versão do χ² para 2 × 2 que subtrai 0,5 de cada |O − E| antes de elevar ao quadrado. Ela aparece em muito livro e em muito software, inclusive como padrão do chi2_contingency no Python. Hoje faz mais sentido como referência do que como solução: com o computador à mão, o exato de Fisher resolve o mesmo problema sem aproximação.

A decisão do caso: o fornecedor novo reprova mais que o atual, a 5%. Com 14 lotes, porém, a margem é estreita, e a homologação seguiu com inspeção reforçada. Quantos lotes seriam precisos para uma conclusão confortável é pergunta de tamanho de amostra, que vale responder antes da próxima rodada.

Qui-quadrado ou teste de duas proporções?

Numa tabela 2 × 2, os dois testes são o mesmo teste. O χ² sem correção é exatamente o quadrado do z do teste de duas proporções com proporção combinada, e os dois dão o mesmo p bicaudal. A seção o fornecedor B refuga mais que o A? compara 12 refugos em 200 com 20 em 200 e chega a z de 1,4744 e p de 0,1404. A mesma tabela dá χ² de 2,1739, que é 1,4744 ao quadrado, com p de 0,1404.

O exemplo do laboratório do livro é o caso típico da segunda linha: quatro linhas de produção, saída sim ou não. Testar as linhas duas a duas daria seis testes de proporção e alarme falso bem acima de 5%. O χ² responde à pergunta inteira de uma vez, como a ANOVA faz com médias.

Como fazer o teste qui-quadrado no Excel e no Minitab

O Excel tem as peças, mas não monta o teste sozinho. São três funções.

1. TESTE.QUIQUA. A sintaxe é =TESTE.QUIQUA(intervalo_real; intervalo_esperado), ou CHISQ.TEST no Excel em inglês. Ela devolve só o p-valor. O intervalo esperado é você quem calcula, com a fórmula linha × coluna ÷ total. Pela página de suporte da Microsoft, a função usa (r − 1)(c − 1) graus de liberdade numa tabela e k − 1 numa coluna só.

Esse detalhe pega a aderência com parâmetro estimado. Se a média da Poisson saiu dos dados, o gl correto é k − 2, e o TESTE.QUIQUA continua usando k − 1. Nesse caso, calcule o χ² à mão e use a função seguinte.

2. DIST.QUIQUA.CD. =DIST.QUIQUA.CD(χ²; gl) devolve a área à direita, que é o p-valor. Em inglês é CHISQ.DIST.RT. No exemplo do fornecedor, =DIST.QUIQUA.CD(33,01; 6) dá 0,00001.

3. INV.QUIQUA.CD. =INV.QUIQUA.CD(0,05; 6) devolve o crítico de 12,59. Em inglês é CHISQ.INV.RT. É a função que gera a tabela χ² da planilha.

A planilha deste artigo junta as três e acrescenta o que o Excel não faz: esperados, contribuições, alerta do pressuposto, resíduos coloridos, V de Cramér e Fisher. Para usar:

1. Baixe pela imagem de qualquer exemplo acima e abra a aba Independência, Aderência ou Fisher 2x2.
2. Escreva o nome das variáveis e o α antes de colar os dados.
3. Cole as contagens nas células amarelas, a partir do canto superior esquerdo e sem linha vazia no meio.
4. Leia primeiro o alerta do esperado. Depois, χ², gl, p-valor, resíduos, V de Cramér e a decisão.
5. Confira a linha do TESTE.QUIQUA. A diferença para o p da fórmula deve ser zero.

Conferi cada aba contra o Python, com chi2_contingency sem correção, chisquare e fisher_exact do scipy.stats. Foram os cinco exemplos e mais 15 conjuntos, de tabelas 2 × 2 a 6 × 6, aderência com até 12 categorias e com parâmetro estimado e Fisher com zero na célula. A maior diferença ficou abaixo da 14ª casa decimal.

No Minitab, o caminho que o livro usa na página 376 é Estat, Tabelas, Tabulação Cruzada e Qui-Quadrado. Selecione as variáveis de linha e de coluna e marque Contagens. Em Qui-Quadrado, marque o teste e a contagem esperada das células. O exato de Fisher fica em Outras Estatísticas, na mesma janela. A aderência tem comando próprio no mesmo menu Tabelas.

O Minitab mostra duas estatísticas, a de Pearson e a de razão de verossimilhança. Elas costumam ficar próximas, como no exemplo do laboratório: 15,286 com p de 0,002 e 16,060 com p de 0,001. A que este artigo calcula, e a que o TESTE.QUIQUA devolve, é a de Pearson.

Erros comuns no teste qui-quadrado

• Colar percentuais. Com as porcentagens por fornecedor no lugar das contagens, o χ² do recebimento sobe de 33,0 para 44,3, porque a conta passa a achar que tem 300 registros. Com metade das contagens e a mesma proporção, ele cai para 16,5. O teste depende do n, e o n vem das contagens.
• Concluir causa a partir de associação. O teste provou que o C erra mais em laudo. Ele não disse por quê. A causa sai do Genba e do Ishikawa.
• Deixar linha ou coluna vazia na tabela. Uma categoria com total zero gera esperado zero e divisão impossível. Tire a categoria. Célula com zero observado é outra coisa e pode ficar, se o esperado dela atender ao pressuposto.
• Ignorar o alerta do esperado. O p de 0,006 do canal × motivo parecia ótimo e não valia nada antes do agrupamento.
• Agrupar categorias para o p cair. O agrupamento se decide pelo processo, antes de olhar o resultado.
• Contar a mesma unidade duas vezes. Uma peça com dois defeitos entra uma vez, pelo defeito principal, ou a tabela muda de unidade de análise.
• Testar aderência contra partes iguais por hábito. O exemplo da solda mostrou p de 0,189 onde o correto era 0,018.
• Parar no p-valor. Sem resíduo e sem V de Cramér, ninguém sabe onde agir nem se vale agir.

Por onde começar

Pegue o relatório de não conformidade, reclamação ou parada que está aberto no seu projeto e veja se ele tem duas categorias que ninguém cruzou. Escreva H0 e H1 antes de abrir a tabela, defina as categorias num plano de coleta de dados, monte as contagens e cole na planilha. Leia o alerta, depois o p, depois os resíduos.

Dentro do método DMAIC, o qui-quadrado mora na fase Analisar, para provar ou derrubar uma causa suspeita de categoria. Depois da melhoria, a proporção de defeituosos de cada fornecedor passa a ser acompanhada numa carta de controle por atributo. O guia de ferramentas estatísticas mostra onde ele entra entre as outras técnicas do projeto.

É ferramenta de primeiro projeto do Green Belt e aparece em quase todo projeto de Lean Seis Sigma com dado de categoria. O kit de ferramentas Lean Seis Sigma da Voitto traz o modelo A16 para registrar cada teste.

A tabela cruzada sempre esteve no relatório. O que faltava era a conta que separa o padrão do acaso, e com ela a reunião troca a opinião sobre o pior fornecedor por duas ações com endereço. Esse é o tipo de resposta que dá gás para o projeto seguir para a fase seguinte.